Sejam
o espaço vetorial de todas as funções reais e
subespaços de
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que o espaço de todas as funções reais, chamado
, pode ser decomposto como a soma direta de dois subespaços
e
. Esses subespaços são definidos por funções pares (
) e ímpares (
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços, funções pares e ímpares, e o que significa ser uma soma direta de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
- Função Par: Uma função
é par se para todo . - Função Ímpar: Uma função
é ímpar se para todo .
Os subespaços
e
são exatamente os conjuntos dessas funções pares e ímpares, respectivamente.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que qualquer função
em
pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar. Vamos construir essas funções:
Definimos:
Vamos verificar que
:
Então, qualquer
pode ser decomposta dessa forma.
Passo 4
Agora, precisamos verificar que essa decomposição é única, ou seja, que a interseção de
e
contém apenas a função zero. Suponha que exista uma função
que seja tanto par quanto ímpar:
Igualando as duas expressões:
Portanto,
, onde
é a função que é zero para todo
.
Resposta
Conseguimos mostrar que qualquer função em
pode ser escrita de forma única como a soma de uma função par e uma função ímpar. Assim,
.
Exercícios relacionados
Reescreva cada vetor
dado na forma
, em que
é o versor de
.
Determine a solução geral da equação de Bernoulli
.
Dados os vetores
e
, calcular:
Sejam
e
os seguintes subespaços de
É verdade que
? Em algum dos casos a soma é direta?