Sejam V=F(R, R) o espaço vetorial de todas as funções reais e
& W1=f in V: f(-x)=f(x), forall x in R & W2=f in V: f(-x)=-f(x), forall x in R
subespaços de V. Mostre que V=W1 oplus W2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que o espaço de todas as funções reais, chamado , pode ser decomposto como a soma direta de dois subespaços e . Esses subespaços são definidos por funções pares ( ) e ímpares ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços, funções pares e ímpares, e o que significa ser uma soma direta de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
  • Função Par: Uma função é par se para todo .
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se para todo .
Os subespaços e são exatamente os conjuntos dessas funções pares e ímpares, respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que qualquer função fp(x) = f(x) + f(-x)2 (função par) em fi(x) = f(x) - f(-x)2 (função ímpar) pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar. Vamos construir essas funções:
Definimos:
fp(x) + fi(x) = f(x) + f(-x)2 + f(x) - f(-x)2 = 2f(x)2 = f(x) çã
çãí
Vamos verificar que :
Então, qualquer pode ser decomposta dessa forma.

Passo 4

Agora, precisamos verificar que essa decomposição é única, ou seja, que a interseção de f(-x) = f(x) (par) e f(-x) = -f(x) (ímpar) contém apenas a função zero. Suponha que exista uma função f(x) = -f(x) implies 2f(x) = 0 implies f(x) = 0 forall x in R que seja tanto par quanto ímpar:
í
Igualando as duas expressões:
Portanto, , onde é a função que é zero para todo .

Resposta

Conseguimos mostrar que qualquer função em pode ser escrita de forma única como a soma de uma função par e uma função ímpar. Assim, .

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