Sejam o espaço vetorial de todas as funções reais e
subespaços de . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que o espaço de todas as funções reais, chamado , pode ser decomposto como a soma direta de dois subespaços e . Esses subespaços são definidos por funções pares ( ) e ímpares ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subespaços, funções pares e ímpares, e o que significa ser uma soma direta de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
  • Função Par: Uma função é par se para todo .
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se para todo .
Os subespaços e são exatamente os conjuntos dessas funções pares e ímpares, respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que qualquer função em pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar. Vamos construir essas funções:
Definimos:
çã
çãí
Vamos verificar que :
Então, qualquer pode ser decomposta dessa forma.

Passo 4

Agora, precisamos verificar que essa decomposição é única, ou seja, que a interseção de e contém apenas a função zero. Suponha que exista uma função que seja tanto par quanto ímpar:
í
Igualando as duas expressões:
Portanto, , onde é a função que é zero para todo .

Resposta

Conseguimos mostrar que qualquer função em pode ser escrita de forma única como a soma de uma função par e uma função ímpar. Assim, .

Exercícios relacionados

Reescreva cada vetor dado na forma , em que é o versor de .
Determine a solução geral da equação de Bernoulli .
Dados os vetores e , calcular:
Sejam e os seguintes subespaços de
É verdade que ? Em algum dos casos a soma é direta?