Sejam X1 sim N(0,4) e X2 sim N(1,9) variáveis aleatória independentes. Calcular P(X1+X2>1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que temos duas variáveis aleatórias, e , que seguem distribuições normais com médias e variâncias específicas. Precisamos calcular a probabilidade de que a soma dessas duas variáveis seja maior que 1. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade envolvendo distribuições normais e a soma de variáveis aleatórias independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos duas variáveis aleatórias independentes que seguem distribuições normais, a soma delas também é uma variável normal. A média da soma é a soma das médias, e a variância da soma é a soma das variâncias.

Passo 3

Vamos calcular a média e a variância da nova distribuição:
  • Média de muX1 + X2 = muX1 + muX2 = 0 + 1 = 1 :
    sigma^2X1 + X2 = sigma^2X1 + sigma^2X2 = 4 + 9 = 13
  • Variância de :
Então, .

Passo 4

Agora, queremos encontrar Z = X - musigma . Isso é o mesmo que encontrar a probabilidade de uma variável normal com média 1 e variância 13 ser maior que 1.
Para facilitar, vamos padronizar essa variável usando a fórmula de padronização:
onde e .

Passo 5

Aplicando a padronização:
Z = 1 - 1raiz13 = 0raiz13 = 0
Então, queremos .

Passo 6

Sabemos que, para a distribuição normal padrão, , ou seja, 50%.

Resposta

A probabilidade de ser maior que 1 é de 50%.

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