Sejam
e
variáveis aleatória independentes. Calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que temos duas variáveis aleatórias,
e
, que seguem distribuições normais com médias e variâncias específicas. Precisamos calcular a probabilidade de que a soma dessas duas variáveis seja maior que 1. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade envolvendo distribuições normais e a soma de variáveis aleatórias independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos duas variáveis aleatórias independentes que seguem distribuições normais, a soma delas também é uma variável normal. A média da soma é a soma das médias, e a variância da soma é a soma das variâncias.
Passo 3
Vamos calcular a média e a variância da nova distribuição:
-
Média de
: -
Variância de
:
Então,
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar
. Isso é o mesmo que encontrar a probabilidade de uma variável normal com média 1 e variância 13 ser maior que 1.
Para facilitar, vamos padronizar essa variável usando a fórmula de padronização:
onde
e
.
Passo 5
Aplicando a padronização:
Então, queremos
.
Passo 6
Sabemos que, para a distribuição normal padrão,
, ou seja, 50%.
Resposta
A probabilidade de
ser maior que 1 é de 50%.
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