Uma universidade adquiriu um grande lote de monitores de certa marca e modelo para equipar os seus laboratórios de informática. O fabricante desses equipamentos informa que os tempos de duração desses monitores têm distribuição normal, com durabilidade média de 8,2 anos e variância de 1,21 anos^2. Determinar a probabilidade de que um monitor desse lote, selecionado aleatoriamente, acuse um tempo de durabilidade Entre 7,6 e 9,1 anos

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir a probabilidade de um monitor durar entre 7,6 e 9,1 anos. Para isso, vamos usar a Distribuição Normal, que é uma ferramenta estatística muito útil para modelar dados que seguem uma distribuição simétrica em torno da média. Aqui, sabemos que a durabilidade média dos monitores é de 8,2 anos, com uma variância de (o que significa que o desvio padrão é a raiz quadrada disso, ou seja, ). Vamos precisar da fórmula de padronização para transformar nossos valores em escores Z e, assim, usar a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter um valor Z = X - musigma da distribuição original para o escore Z da distribuição normal padrão. A fórmula é:
Onde:
  • é a média (8,2 anos),
  • é o desvio padrão (1,1 anos),
  • é o valor que queremos converter (7,6 e 9,1 anos).

Passo 3

Vamos calcular o escore Z para Z1 = 7,6 - 8,21,1 = -0,61,1 approx -0,545 anos:
Z2 = 9,1 - 8,21,1 = 0,91,1 approx 0,818
E para anos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a cada escore Z usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora. Essas probabilidades representam a área sob a curva normal até aquele valor de Z.
Vamos supor que encontramos:
P(Z <= -0,545) approx 0,292
P(Z <= 0,818) approx 0,793

Passo 5

A probabilidade de um monitor durar entre 7,6 e 9,1 anos é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(7,6 <= X <= 9,1) = P(Z <= 0,818) - P(Z <= -0,545) approx 0,793 - 0,292 = 0,501

Resposta

A probabilidade de um monitor durar entre 7,6 e 9,1 anos é de aproximadamente 50,1%.

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