Sejam
e
variáveis aleatórias independentes tendo, cada uma delas, a seguinte distribuição
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
|
0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
a) Obtenha a distribuição amostral da média
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas variáveis aleatórias independentes, $ X_1 $ e $ X_2 $, que podem assumir os valores 1, 2, 3 ou 4 com respectivas probabilidades 0,2, 0,3, 0,4 e 0,1 cada uma. Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição da média $ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar as distribuições de $ X_1 $ e $ X_2 $ para obter a distribuição da média. Como as variáveis são independentes, podemos multiplicar as probabilidades dos eventos individuais para encontrar as combinações possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações dos valores de $ X_1 $ e $ X_2 $. Como cada uma pode ser 1, 2, 3 ou 4, teremos 4 x 4 = 16 combinações diferentes.
Vamos organizar essas combinações em uma tabela:
$ X_1 $ | $ X_2 $ | $ X_1 + X_2 $ | $ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2} $ |
---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 1 |
1 | 2 | 3 | 1,5 |
1 | 3 | 4 | 2 |
1 | 4 | 5 | 2,5 |
2 | 1 | 3 | 1,5 |
2 | 2 | 4 | 2 |
2 | 3 | 5 | 2,5 |
2 | 4 | 6 | 3 |
3 | 1 | 4 | 2 |
3 | 2 | 5 | 2,5 |
3 | 3 | 6 | 3 |
3 | 4 | 7 | 3,5 |
4 | 1 | 5 | 2,5 |
4 | 2 | 6 | 3 |
4 | 3 | 7 | 3,5 |
4 | 4 | 8 | 4 |
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada combinação. Como $ X_1 $ e $ X_2 $ são independentes, a probabilidade de cada par $ (X_1, X_2) $ é o produto das probabilidades individuais:
Por exemplo, a probabilidade de $ X_1 = 1 $ e $ X_2 = 2 $ é:
Vamos calcular todas as probabilidades:
$ X_1 $ | $ X_2 $ | $ \bar{X} $ | Probabilidade $ P(X_1, X_2) $ |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 0,2 × 0,2 = 0,04 |
1 | 2 | 1,5 | 0,2 × 0,3 = 0,06 |
1 | 3 | 2 | 0,2 × 0,4 = 0,08 |
1 | 4 | 2,5 | 0,2 × 0,1 = 0,02 |
2 | 1 | 1,5 | 0,3 × 0,2 = 0,06 |
2 | 2 | 2 | 0,3 × 0,3 = 0,09 |
2 | 3 | 2,5 | 0,3 × 0,4 = 0,12 |
2 | 4 | 3 | 0,3 × 0,1 = 0,03 |
3 | 1 | 2 | 0,4 × 0,2 = 0,08 |
3 | 2 | 2,5 | 0,4 × 0,3 = 0,12 |
3 | 3 | 3 | 0,4 × 0,4 = 0,16 |
3 | 4 | 3,5 | 0,4 × 0,1 = 0,04 |
4 | 1 | 2,5 | 0,1 × 0,2 = 0,02 |
4 | 2 | 3 | 0,1 × 0,3 = 0,03 |
4 | 3 | 3,5 | 0,1 × 0,4 = 0,04 |
4 | 4 | 4 | 0,1 × 0,1 = 0,01 |
Passo 4
Agora que temos todas as médias e suas respectivas probabilidades, vamos agrupar as médias iguais e somar as probabilidades correspondentes. Isso nos dará a distribuição da média $ \bar{X} $.
Vamos organizar:
-
1:
- Apenas uma combinação: $ \bar{X} = 1 $ com probabilidade 0,04.
-
1,5:
- Duas combinações: $ \bar{X} = 1,5 $ com probabilidades 0,06 + 0,06 = 0,12.
-
2:
- Três combinações: $ \bar{X} = 2 $ com probabilidades 0,08 + 0,09 + 0,08 = 0,25.
-
2,5:
- Quatro combinações: $ \bar{X} = 2,5 $ com probabilidades 0,02 + 0,12 + 0,12 + 0,02 = 0,28.
-
3:
- Três combinações: $ \bar{X} = 3 $ com probabilidades 0,03 + 0,16 + 0,03 = 0,22.
-
3,5:
- Duas combinações: $ \bar{X} = 3,5 $ com probabilidades 0,04 + 0,04 = 0,08.
-
4:
- Apenas uma combinação: $ \bar{X} = 4 $ com probabilidade 0,01.
Passo 5
Finalmente, vamos montar a distribuição amostral da média $ \bar{X} $ com todas as médias possíveis e suas probabilidades:
$ \bar{X} $ | Probabilidade $ P(\bar{X}) $ |
---|---|
1 | 0,04 |
1,5 | 0,12 |
2 | 0,25 |
2,5 | 0,28 |
3 | 0,22 |
3,5 | 0,08 |
4 | 0,01 |
Resposta
A distribuição amostral da média $ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2} $ é: