Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes tendo, cada uma delas, a seguinte distribuição
X 1 2 3 4
p(x) 0,2 0,3 0,4 0,1
a) Obtenha a distribuição amostral da média barX=X1+X22.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas variáveis aleatórias independentes, $ X_1 $ e $ X_2 $, que podem assumir os valores 1, 2, 3 ou 4 com respectivas probabilidades 0,2, 0,3, 0,4 e 0,1 cada uma. Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição da média $ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar as distribuições de $ X_1 $ e $ X_2 $ para obter a distribuição da média. Como as variáveis são independentes, podemos multiplicar as probabilidades dos eventos individuais para encontrar as combinações possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações dos valores de $ X_1 $ e $ X_2 $. Como cada uma pode ser 1, 2, 3 ou 4, teremos 4 x 4 = 16 combinações diferentes.
Vamos organizar essas combinações em uma tabela:
$ X_1 $ $ X_2 $ $ X_1 + X_2 $ $ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2} $
1 1 2 1
1 2 3 1,5
1 3 4 2
1 4 5 2,5
2 1 3 1,5
2 2 4 2
2 3 5 2,5
2 4 6 3
3 1 4 2
3 2 5 2,5
3 3 6 3
3 4 7 3,5
4 1 5 2,5
4 2 6 3
4 3 7 3,5
4 4 8 4

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada combinação. Como $ X_1 $ e $ X_2 $ são independentes, a probabilidade de cada par $ (X_1, X_2) $ é o produto das probabilidades individuais:
X1
Por exemplo, a probabilidade de $ X_1 = 1 $ e $ X_2 = 2 $ é:
X2
Vamos calcular todas as probabilidades:
$ X_1 $ $ X_2 $ $ \bar{X} $ Probabilidade $ P(X_1, X_2) $
1 1 1 0,2 × 0,2 = 0,04
1 2 1,5 0,2 × 0,3 = 0,06
1 3 2 0,2 × 0,4 = 0,08
1 4 2,5 0,2 × 0,1 = 0,02
2 1 1,5 0,3 × 0,2 = 0,06
2 2 2 0,3 × 0,3 = 0,09
2 3 2,5 0,3 × 0,4 = 0,12
2 4 3 0,3 × 0,1 = 0,03
3 1 2 0,4 × 0,2 = 0,08
3 2 2,5 0,4 × 0,3 = 0,12
3 3 3 0,4 × 0,4 = 0,16
3 4 3,5 0,4 × 0,1 = 0,04
4 1 2,5 0,1 × 0,2 = 0,02
4 2 3 0,1 × 0,3 = 0,03
4 3 3,5 0,1 × 0,4 = 0,04
4 4 4 0,1 × 0,1 = 0,01

Passo 4

Agora que temos todas as médias e suas respectivas probabilidades, vamos agrupar as médias iguais e somar as probabilidades correspondentes. Isso nos dará a distribuição da média $ \bar{X} $.
Vamos organizar:
  • 1:
    • Apenas uma combinação: $ \bar{X} = 1 $ com probabilidade 0,04.
  • 1,5:
    • Duas combinações: $ \bar{X} = 1,5 $ com probabilidades 0,06 + 0,06 = 0,12.
  • 2:
    • Três combinações: $ \bar{X} = 2 $ com probabilidades 0,08 + 0,09 + 0,08 = 0,25.
  • 2,5:
    • Quatro combinações: $ \bar{X} = 2,5 $ com probabilidades 0,02 + 0,12 + 0,12 + 0,02 = 0,28.
  • 3:
    • Três combinações: $ \bar{X} = 3 $ com probabilidades 0,03 + 0,16 + 0,03 = 0,22.
  • 3,5:
    • Duas combinações: $ \bar{X} = 3,5 $ com probabilidades 0,04 + 0,04 = 0,08.
  • 4:
    • Apenas uma combinação: $ \bar{X} = 4 $ com probabilidade 0,01.

Passo 5

Finalmente, vamos montar a distribuição amostral da média $ \bar{X} $ com todas as médias possíveis e suas probabilidades:
$ \bar{X} $ Probabilidade $ P(\bar{X}) $
1 0,04
1,5 0,12
2 0,25
2,5 0,28
3 0,22
3,5 0,08
4 0,01

Resposta

A distribuição amostral da média $ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2} $ é:
barX = X1 + X22

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