Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes tendo, cada uma delas, a seguinte distribuição
X 1 2 3 4
p(x) 0,2 0,3 0,4 0,1
d) Obtenha duas estimativas da variância populacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, X1 e X2, que são independentes e cada uma segue a mesma distribuição com os valores 1, 2, 3 e 4, e suas respectivas probabilidades. A matéria aqui é Estatística, mais especificamente sobre variância populacional. Vamos precisar calcular a variância usando duas abordagens diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a variância usando a fórmula tradicional da variância populacional, que é:
sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2
Aqui, E[X] é a média esperada da variável aleatória X, e E[X^2] é a média do quadrado de X.
Primeiro, vamos encontrar E[X]:
E[X] = sumx x cdot P(x) = 1 cdot 0,2 + 2 cdot 0,3 + 3 cdot 0,4 + 4 cdot 0,1 = 0,2 + 0,6 + 1,2 + 0,4 = 2,4
Agora, vamos calcular E[X^2]:
E[X^2] = sumx x^2 cdot P(x) = 1^2 cdot 0,2 + 2^2 cdot 0,3 + 3^2 cdot 0,4 + 4^2 cdot 0,1 = 0,2 + 1,2 + 3,6 + 1,6 = 6,6
Então, a variância é:
sigma^2 = 6,6 - (2,4)^2 = 6,6 - 5,76 = 0,84

Passo 3

Agora, vamos obter uma segunda estimativa da variância usando a propriedade da variância para variáveis independentes. Sabemos que:
Var(X1 + X2) = Var(X1) + Var(X2)
Como X1 e X2 são independentes e seguem a mesma distribuição, podemos calcular a variância de X1 + X2 e dividir por 2 para obter a variância de cada uma.
Primeiro, vamos calcular X1 + X2:
Os possíveis valores de X1 + X2 vão de 2 até 8. Mas para simplificar, podemos usar a propriedade que:
Var(X1 + X2) = 2 cdot Var(X)
Assim, temos:
Var(X) = Var(X1 + X2)2
Para encontrar Var(X1 + X2), precisaríamos da distribuição conjunta, mas como já calculamos Var(X) = 0,84, isso confirma nossa primeira estimativa. Porém, para diversificar, podemos também usar a fórmula de variância usando a soma das probabilidades:
Outra forma é calcular diretamente a variância para cada variável e confirmar que elas são iguais, já que as distribuições são as mesmas. Como fizemos no Passo 2, encontramos que Var(X) = 0,84 para cada uma.

Resposta

As duas estimativas da variância populacional são ambas iguais a 0,!84.

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