Sejam
e
variáveis aleatórias independentes tendo, cada uma delas, a seguinte distribuição
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
|
0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
d) Obtenha duas estimativas da variância populacional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias,
e
, que são independentes e cada uma segue a mesma distribuição com os valores 1, 2, 3 e 4, e suas respectivas probabilidades. A matéria aqui é Estatística, mais especificamente sobre variância populacional. Vamos precisar calcular a variância usando duas abordagens diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a variância usando a fórmula tradicional da variância populacional, que é:
Aqui,
é a média esperada da variável aleatória
, e
é a média do quadrado de
.
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, vamos calcular
:
Então, a variância é:
Passo 3
Agora, vamos obter uma segunda estimativa da variância usando a propriedade da variância para variáveis independentes. Sabemos que:
Como
e
são independentes e seguem a mesma distribuição, podemos calcular a variância de
e dividir por 2 para obter a variância de cada uma.
Primeiro, vamos calcular
:
Os possíveis valores de
vão de 2 até 8. Mas para simplificar, podemos usar a propriedade que:
Assim, temos:
Para encontrar
, precisaríamos da distribuição conjunta, mas como já calculamos
, isso confirma nossa primeira estimativa. Porém, para diversificar, podemos também usar a fórmula de variância usando a soma das probabilidades:
Outra forma é calcular diretamente a variância para cada variável e confirmar que elas são iguais, já que as distribuições são as mesmas. Como fizemos no Passo 2, encontramos que
para cada uma.
Resposta
As duas estimativas da variância populacional são ambas iguais a
.