Sejam y=[l4 8 1], u1=[l2 / 3 1 / 3 2 / 3], u2=[r-2 / 3 2 / 3 1 / 3] e W=Lu1, u2.
a) Seja U=[llu1 & u2]. Calcule U^T U e U U^T;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas matrizes, u1 e u2, que são vetores coluna, e uma matriz U que é formada juntando esses vetores como colunas. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente multiplicação de matrizes e transposição. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e como transpor uma matriz. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz U. Sabemos que:
u1 = 23 13 23 , u2 = -23 23 13
Então, U é a matriz que tem u1 e u2 como colunas:
U = u1 & u2 = 23 & -23 13 & 23 23 & 13

Passo 3

Agora, vamos calcular U^TU. Aqui, U^T é a transposta de U, ou seja, trocamos linhas por colunas:
U^T = 23 & 13 & 23 -23 & 23 & 13
A multiplicação U^TU envolve multiplicar uma matriz de tamanho 2 times 3 por uma matriz 3 times 2, resultando em uma matriz 2 times 2.

Passo 4

Vamos fazer as multiplicações elemento por elemento para obter U^TU:
U^TU = (23)^2 + (13)^2 + (23)^2 & (23)(-23) + (13)(23) + (23)(13) (-23)(23) + (23)(13) + (13)(23) & (-23)^2 + (23)^2 + (13)^2
Calculando cada elemento:
  1. Primeiro elemento (1,1):
(23)^2 + (13)^2 + (23)^2 = 49 + 19 + 49 = 99 = 1
  1. Primeiro elemento (1,2):
(23)(-23) + (13)(23) + (23)(13) = -49 + 29 + 29 = 0
  1. Segundo elemento (2,1) é igual ao primeiro (1,2), então também é 0.
  2. Segundo elemento (2,2):
(-23)^2 + (23)^2 + (13)^2 = 49 + 49 + 19 = 99 = 1
Então, temos:
U^TU = 1 & 0 0 & 1

Passo 5

Agora, vamos calcular UU^T. Aqui, multiplicamos U (tamanho 3 times 2) por U^T (tamanho 2 times 3), resultando em uma matriz 3 times 3.
UU^T = 23 & -23 13 & 23 23 & 13 23 & 13 & 23 -23 & 23 & 13
Vamos multiplicar cada elemento correspondendo às linhas de U e colunas de U^T.

Passo 6

Calculando cada elemento de UU^T:
  1. Elemento (1,1):
(23)^2 + (-23)^2 = 49 + 49 = 89
  1. Elemento (1,2):
23 cdot 13 + (-23) cdot 23 = 29 - 49 = -29
  1. Elemento (1,3):
23 cdot 23 + (-23) cdot 13 = 49 - 29 = 29
  1. Elemento (2,1):
13 cdot 23 + 23 cdot (-23) = 29 - 49 = -29
  1. Elemento (2,2):
(13)^2 + (23)^2 = 19 + 49 = 59
  1. Elemento (2,3):
13 cdot 23 + 23 cdot 13 = 29 + 29 = 49
  1. Elemento (3,1):
23 cdot 23 + 13 cdot (-23) = 49 - 29 = 29
  1. Elemento (3,2):
23 cdot 13 + 13 cdot 23 = 29 + 29 = 49
  1. Elemento (3,3):
(23)^2 + (13)^2 = 49 + 19 = 59
Então, montando a matriz:
UU^T = 89 & -29 & 29 -29 & 59 & 49 29 & 49 & 59

Resposta

U^TU = 1 & 0 0 & 1 , UU^T = 89 & -29 & 29 -29 & 59 & 49 29 & 49 & 59

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