Sejam y=[r5 -9 5], u1=[r-3 -5 1], u2=[r-3 2 1]. Encontre a distância de y ao plano em R^3 gerado por u1 e u2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um vetor y e dois vetores u1 e u2 que geram um plano no espaço tridimensional R^3. A nossa missão é descobrir qual é a distância entre o ponto representado por y e esse plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, como produto vetorial e fórmulas de distância de ponto a plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar a distância de um ponto a um plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Como o plano é gerado pelos vetores u1 e u2, podemos encontrar um vetor normal tomando o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, ou seja, perpendicular ao plano.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial n = u1 times u2. Os vetores são:
u1 = -3 -5 1 , u2 = -3 2 1
O produto vetorial é calculado da seguinte forma:
n = (-5)(1) - (1)(2) (1)(-3) - (-3)(1) (-3)(2) - (-5)(-3) = -5 - 2 -3 + 3 -6 - 15 = -7 0 -21

Passo 4

Agora que temos o vetor normal n = -7 0 -21 , podemos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano. A fórmula é:
d = |n cdot (y - y0)||n|
Onde:
  • n é o vetor normal ao plano.
  • y é o ponto do qual queremos encontrar a distância.
  • y0 é um ponto qualquer que pertence ao plano.

Passo 5

Para simplificar, podemos escolher y0 como a origem 0 0 0 , já que a origem está no plano gerado por u1 e u2. Assim, a diferença y - y0 é apenas y:
y = 5 -9 5
Então, o produto escalar n cdot y é:
n cdot y = (-7)(5) + (0)(-9) + (-21)(5) = -35 + 0 - 105 = -140
Tomamos o valor absoluto desse resultado:
|n cdot y| = | -140 | = 140

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma do vetor normal n:
|n| = raiz(-7)^2 + 0^2 + (-21)^2 = raiz49 + 0 + 441 = raiz490 = 7raiz10

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 1407raiz10 = 20raiz10 = 20raiz1010 = 2raiz10

Resposta

A distância de y ao plano gerado por u1 e u2 é 2raiz10 unidades.

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