Determine quais dos conjuntos de vetores abaixo são ortogoninais. Se um conjunto for apenas ortogonal, normalize os vetores para obter um conjunto ortonormal.
b)
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos dois vetores em
e precisamos verificar se eles são ortogonais. Se forem apenas ortogonais, vamos normalizá-los para formar um conjunto ortonormal. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e a fórmula da norma de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos dois vetores. O produto escalar de
e
é dado por:
Passo 3
Aplicando isso aos vetores dados:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.
Passo 4
Agora, vamos normalizar cada vetor para obter um conjunto ortonormal. A normalização de um vetor
é feita dividindo cada componente pela sua norma. A norma de
é calculada por:
Passo 5
Calculando a norma de
:
Passo 6
Calculando a norma de
:
Resposta
Os vetores dados são ortogonais e já estão normalizados, formando um conjunto ortonormal.