Suponha que u1, ldots, u4 seja uma base ortogonal para R^4. Escreva x como a soma de dois vetores, um em Lu1, u2, u3 e o outro em Lu4.
u1=[r 0 1 -4 -1 ] ; u2=[l 3 5 1 1 ] ; u3=[r 1 0 1 -4 ] ; u1=[r 5 -3 -1 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que trata de álgebra linear, especificamente sobre bases ortogonais e decomposição de vetores. A questão pede para escrever um vetor x como a soma de dois vetores: um que está no espaço gerado por u1, u2, u3 e outro que está no espaço gerado por u4. Vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como decompor vetores usando projeções.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer as bases ortogonais. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si. Isso facilita bastante na hora de projetar um vetor em subespaços específicos. No nosso caso, temos uma base ortogonal para R^4, composta por u1, u2, u3 e u4.

Passo 3

Vamos escrever o vetor x como:
x = x1 + x2
onde x1 está no espaço Lu1, u2, u3 e x2 está no espaço Lu4. Como as bases são ortogonais, x1 será a soma das projeções de x em cada um dos vetores u1, u2, u3, e x2 será a projeção de x em u4.

Passo 4

A fórmula para a projeção de um vetor x em um vetor u é:
proju x = x cdot uu cdot u u
Como nossas bases são ortogonais, podemos aplicar essa fórmula diretamente para cada vetor da base.

Passo 5

Vamos calcular x1:
x1 = proju1 x + proju2 x + proju3 x
E x2 será:
x2 = proju4 x

Passo 6

Vamos assumir que x é um vetor arbitrário em R^4. Se quisermos uma expressão geral, podemos deixar x como está. Porém, se tivermos um vetor específico, substituímos e calculamos cada projeção conforme a fórmula mencionada.

Resposta

Portanto, o vetor x pode ser escrito como:
x = ( x cdot u1u1 cdot u1 u1 + x cdot u2u2 cdot u2 u2 + x cdot u3u3 cdot u3 u3 ) + ( x cdot u4u4 cdot u4 u4 )
Essa é a decomposição de x como a soma de um vetor no subespaço gerado por u1, u2, u3 e outro no subespaço gerado por u4.

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