Considere as funções e .
Mostre que e nunca podem ser soluções de no intervalo , se e são contínuas neste intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem duas funções, e . A pergunta é mostrar que essas funções nunca podem ser soluções de uma equação diferencial linear homogênea no intervalo de , considerando que e são funções contínuas nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e verificar se essas funções podem satisfazer a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Geralmente, ela tem a forma:
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , é a primeira derivada, e são funções contínuas no intervalo dado.

Passo 3

Para verificar se pode ser solução dessa equação, vamos calcular suas derivadas:

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos considerar que isso deve ser válido para todo no intervalo . Isso implica que a expressão acima deve ser sempre igual a zero nesse intervalo. Mas observamos que depende de de forma não trivial, a menos que e sejam escolhidas de maneira específica para anular cada termo, o que não é garantido apenas pela continuidade.

Passo 6

Além disso, para a função , vamos calcular as derivadas:
Primeiro, notemos que pode ser escrita como:
Então, suas derivadas são:
Para :
Para :

Passo 7

Substituindo , e na equação diferencial para :
E para :

Passo 8

Assim como no caso de , essas equações teriam que ser satisfeitas para todos os no intervalo, o que novamente requer condições específicas sobre e que não são garantidas apenas pela continuidade. Além disso, a descontinuidade na derivada segunda de em causa problemas, já que e são contínuas, mas as derivadas de não são.

Passo 9

Portanto, concluímos que, dadas as condições do problema, as funções e não podem ser soluções da equação diferencial linear homogênea no intervalo .

Resposta

As funções e nunca podem ser soluções da equação diferencial linear homogênea no intervalo quando e são contínuas nesse intervalo.

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