Considere as funções
e
.
Mostre que
e
nunca podem ser soluções de
no intervalo
, se
e
são contínuas neste intervalo.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem duas funções,
e
. A pergunta é mostrar que essas funções nunca podem ser soluções de uma equação diferencial linear homogênea
no intervalo de
, considerando que
e
são funções contínuas nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e verificar se essas funções podem satisfazer a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Geralmente, ela tem a forma:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
,
é a primeira derivada,
e
são funções contínuas no intervalo dado.
Passo 3
Para verificar se
pode ser solução dessa equação, vamos calcular suas derivadas:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos considerar que isso deve ser válido para todo
no intervalo
. Isso implica que a expressão acima deve ser sempre igual a zero nesse intervalo. Mas observamos que
depende de
de forma não trivial, a menos que
e
sejam escolhidas de maneira específica para anular cada termo, o que não é garantido apenas pela continuidade.
Passo 6
Além disso, para a função
, vamos calcular as derivadas:
Primeiro, notemos que
pode ser escrita como:
Então, suas derivadas são:
Para
:
Para
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial para
:
E para
:
Passo 8
Assim como no caso de
, essas equações teriam que ser satisfeitas para todos os
no intervalo, o que novamente requer condições específicas sobre
e
que não são garantidas apenas pela continuidade. Além disso, a descontinuidade na derivada segunda de
em
causa problemas, já que
e
são contínuas, mas as derivadas de
não são.
Passo 9
Portanto, concluímos que, dadas as condições do problema, as funções
e
não podem ser soluções da equação diferencial linear homogênea
no intervalo
.
Resposta
As funções
e
nunca podem ser soluções da equação diferencial linear homogênea
no intervalo
quando
e
são contínuas nesse intervalo.
Exercícios relacionados
Considere as funções
e
.
Mostre que e
são LD no intervalo
.
Mostre que
Sejam
e
soluções de
no intervalo
e
. Mostre que
e
são linearmente independentes no intervalo
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.