Um semente de melancia possui asseguintes coordenadas . Determine o vetor posição da semente (a) na notação de vetores . Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração emfunção do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma semente de melancia que está nas coordenadas , e . O que a gente precisa fazer é determinar o vetor posição dessa semente na forma . Além disso, vamos escrever as expressões para a velocidade e a aceleração dela em função do tempo. Aqui, estamos lidando com Vetores no Espaço, e para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial como derivadas para achar a velocidade e a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição. Ele representa a posição de um ponto no espaço em relação à origem. No nosso caso, a posição inicial da semente é . O vetor posição dado é . Vamos ajustar isso para incluir as coordenadas iniciais.

Passo 3

Vamos considerar que o vetor posição geral é dado por:
Onde , e são as funções que descrevem a posição em cada direção ao longo do tempo.

Passo 4

Dado que a semente começa em , podemos imaginar que:
é
é
é
Então, o vetor posição fica:

Passo 5

Agora, vamos para a velocidade. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente:
Portanto, a velocidade é:

Passo 6

Agora, vamos para a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
Então, a aceleração é:

Resposta

O vetor posição da semente ��:
A velocidade em função do tempo é:
E a aceleração em função do tempo é:

Exercícios relacionados

Na figura 3 a partícula está em movi-mento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas . (a) Para que valores de a compo nente vertical do vetor posição possui maior módulo? (b) Para que valores de a componente vertical da velocidade da partícula possui maior módulo? ©Para que valores de a componente ver tical da aceleração da partícula possui maior módulo?
Figura 3: Pergunta 4
Converta:
a)
Ex. 4 - A Figura mostra dois espiões industriais arrastando um cofre de 225 kg a partir do repouso e assim produzindo um deslocamento , de módulo , em direção a um caminhão. O empurrão do espião 001 tem um módulo de e faz um ângulo de para baixo com a horizontal; o puxão do espião 002 tem um módulo de e faz um ângulo de para cima com a horizontal. Os módulos e orientações das forças não variam quando o cofre se desloca, e o atrito entre o cofre e o atrito com o piso é desprezível.
(a) Qual é o trabalho total realizado pelas forças e sobre o cofre durante o deslocamento ,?
Ex. 4 - A Figura mostra dois espiões industriais arrastando um cofre de 225 kg a partir do repouso e assim produzindo um deslocamento , de módulo , em direção a um caminhão. O empurrão do espião 001 tem um módulo de e faz um ângulo de para baixo com a horizontal; o puxão do espião 002 tem um módulo de e faz um ângulo de para cima com a horizontal. Os módulos e orientações das forças não variam quando o cofre se desloca, e o atrito entre o cofre e o atrito com o piso é desprezível.
(b) Qual é a velocidade do cofre após o deslocamento de ?