Um semente de melancia possui asseguintes coordenadas x=-5 m, y=8 m e z=0 m. Determine o vetor posição da semente (a) na notação de vetores i+4 t^2 j+t k. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração emfunção do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma semente de melancia que está nas coordenadas , e . O que a gente precisa fazer é determinar o vetor posição dessa semente na forma . Além disso, vamos escrever as expressões para a velocidade e a aceleração dela em função do tempo. Aqui, estamos lidando com Vetores no Espaço, e para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial como derivadas para achar a velocidade e a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição. Ele representa a posição de um ponto no espaço em relação à origem. No nosso caso, a posição inicial da semente é . O vetor posição dado é . Vamos ajustar isso para incluir as coordenadas iniciais.

Passo 3

Vamos considerar que o vetor posição geral é dado por:
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
Onde , e são as funções que descrevem a posição em cada direção ao longo do tempo.

Passo 4

Dado que a semente começa em x(t) = -5 + 1 cdot t (pois o coeficiente de i é 1) , podemos imaginar que:
y(t) = 8 + 4 t^2 (coeficiente de j é 4 t^2) é
z(t) = 0 + t (coeficiente de k é t) é
r(t) = (-5 + t) i + (8 + 4 t^2) j + t k é
Então, o vetor posição fica:

Passo 5

Agora, vamos para a velocidade. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Vamos derivar cada componente:
ddt(-5 + t) = 1
ddt(8 + 4 t^2) = 8 t
ddt(t) = 1
Portanto, a velocidade é:
v(t) = 1 i + 8 t j + 1 k

Passo 6

Agora, vamos para a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Derivando cada componente da velocidade:
ddt(1) = 0
ddt(8 t) = 8
ddt(1) = 0
Então, a aceleração é:
a(t) = 0 i + 8 j + 0 k

Resposta

O vetor posição da semente ��:
r(t) = (-5 + t) i + (8 + 4 t^2) j + t k
A velocidade em função do tempo é:
v(t) = 1 i + 8 t j + 1 k
E a aceleração em função do tempo é:
a(t) = 0 i + 8 j + 0 k

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