Um semente de melancia possui asseguintes coordenadas
. Determine o vetor posição da semente (a) na notação de vetores
. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração emfunção do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma semente de melancia que está nas coordenadas
,
e
. O que a gente precisa fazer é determinar o vetor posição dessa semente na forma
. Além disso, vamos escrever as expressões para a velocidade e a aceleração dela em função do tempo. Aqui, estamos lidando com Vetores no Espaço, e para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial como derivadas para achar a velocidade e a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição. Ele representa a posição de um ponto no espaço em relação à origem. No nosso caso, a posição inicial da semente é
. O vetor posição
dado é
. Vamos ajustar isso para incluir as coordenadas iniciais.
Passo 3
Vamos considerar que o vetor posição geral é dado por:
Onde
,
e
são as funções que descrevem a posição em cada direção ao longo do tempo.
Passo 4
Dado que a semente começa em
, podemos imaginar que:
Então, o vetor posição fica:
Passo 5
Agora, vamos para a velocidade. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente:
Portanto, a velocidade é:
Passo 6
Agora, vamos para a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
Então, a aceleração é:
Resposta
O vetor posição da semente ��:
A velocidade em função do tempo é:
E a aceleração em função do tempo é: