Sendo dados os vetores A=2 i-4 j-3 k, B=4 i+2 j+8 k, C= -2 i-8 j+2 k, e D=9 i+j-6 k, calcule o seguinte.
(b) Todas as possíveis somas em que são utilizados dois vetores e seus módulos.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos quatro vetores: A, B, C e D. A parte (b) da questão quer que a gente encontre todas as possíveis somas de dois vetores diferentes entre eles e, em seguida, calcule o módulo (ou comprimento) de cada uma dessas somas. Para resolver isso, vamos precisar saber como somar vetores e como calcular o módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as combinações possíveis de somas de dois vetores diferentes. Temos quatro vetores, então as combinações possíveis são:
  1. A + B
  2. A + C
  3. A + D
  4. B + C
  5. B + D
  6. C + D

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas somas vetoriais passo a passo.
1. Soma de A + B:
A + B = (2i - 4j - 3k) + (4i + 2j + 8k) = (2+4)i + (-4+2)j + (-3+8)k = 6i - 2j + 5k
2. Soma de A + C:
A + C = (2i - 4j - 3k) + (-2i - 8j + 2k) = (2-2)i + (-4-8)j + (-3+2)k = 0i - 12j - 1k
3. Soma de A + D:
A + D = (2i - 4j - 3k) + (9i + j - 6k) = (2+9)i + (-4+1)j + (-3-6)k = 11i - 3j - 9k
4. Soma de B + C:
B + C = (4i + 2j + 8k) + (-2i - 8j + 2k) = (4-2)i + (2-8)j + (8+2)k = 2i - 6j + 10k
5. Soma de B + D:
B + D = (4i + 2j + 8k) + (9i + j - 6k) = (4+9)i + (2+1)j + (8-6)k = 13i + 3j + 2k
6. Soma de C + D:
C + D = (-2i - 8j + 2k) + (9i + j - 6k) = (-2+9)i + (-8+1)j + (2-6)k = 7i - 7j - 4k

Passo 4

Agora que temos todas as somas, vamos calcular o módulo de cada vetor resultante. O módulo de um vetor V = ai + bj + ck é dado por:
|V| = raiza^2 + b^2 + c^2
1. Módulo de A + B:
|A + B| = raiz6^2 + (-2)^2 + 5^2 = raiz36 + 4 + 25 = raiz65 approx 8,06
2. Módulo de A + C:
|A + C| = raiz0^2 + (-12)^2 + (-1)^2 = raiz0 + 144 + 1 = raiz145 approx 12,04
3. Módulo de A + D:
|A + D| = raiz11^2 + (-3)^2 + (-9)^2 = raiz121 + 9 + 81 = raiz211 approx 14,53
4. Módulo de B + C:
|B + C| = raiz2^2 + (-6)^2 + 10^2 = raiz4 + 36 + 100 = raiz140 approx 11,83
5. Módulo de B + D:
|B + D| = raiz13^2 + 3^2 + 2^2 = raiz169 + 9 + 4 = raiz182 approx 13,49
6. Módulo de C + D:
|C + D| = raiz7^2 + (-7)^2 + (-4)^2 = raiz49 + 49 + 16 = raiz114 approx 10,68

Resposta

As somas de dois vetores e seus respectivos módulos são:
  1. A + B = 6i - 2j + 5k, módulo approx 8,06
  2. A + C = 0i - 12j - 1k, módulo approx 12,04
  3. A + D = 11i - 3j - 9k, módulo approx 14,53
  4. B + C = 2i - 6j + 10k, módulo approx 11,83
  5. B + D = 13i + 3j + 2k, módulo approx 13,49
  6. C + D = 7i - 7j - 4k, módulo approx 10,68

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