Dado que , demonstre que
e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que . A tarefa é demonstrar que as funções de Bessel de primeira espécie de ordem e podem ser expressas usando funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar usar a definição das funções de Bessel e algumas propriedades da função Gamma.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição das funções de Bessel de primeira espécie:
Mas, para ordens meio-inteiras como e , é mais fácil usar as representações conhecidas em termos de funções trigonométricas.

Passo 3

Sabemos que, para , a função de Bessel pode ser expressa usando o seno. A expressão geral para ordens meio-inteiras é:
Onde e são polinômios. Para , os polinômios simplificam, e a expressão fica mais simples.

Passo 4

Vamos utilizar a integração que relaciona a função de Bessel com funções trigonométricas. Para , temos:
Isso porque, ao substituir na definição de , as séries e integrais envolvidas simplificam para a função seno.

Passo 5

De maneira similar, para , a função de Bessel pode ser expressa usando o cosseno. Aplicando o mesmo raciocínio:
Aqui, a função cosseno surge naturalmente ao lidar com a ordem na definição das funções de Bessel.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
e

Exercícios relacionados

Escreva o Dominio Df das seguintes funções e esboce Df graficamente.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Sendo a transformada de Fourier de , demonstre que a transformada de Fourier de
é dada por
em que é uma constante.
Verifique a continuidade da função no ponto indicado:
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f) ,