Dado que
, demonstre que
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que
. A tarefa é demonstrar que as funções de Bessel de primeira espécie de ordem
e
podem ser expressas usando funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar usar a definição das funções de Bessel e algumas propriedades da função Gamma.
Passo 2
Vamos começar lembrando a definição das funções de Bessel de primeira espécie:
Mas, para ordens meio-inteiras como
e
, é mais fácil usar as representações conhecidas em termos de funções trigonométricas.
Passo 3
Sabemos que, para
, a função de Bessel
pode ser expressa usando o seno. A expressão geral para ordens meio-inteiras é:
Onde
e
são polinômios. Para
, os polinômios simplificam, e a expressão fica mais simples.
Passo 4
Vamos utilizar a integração que relaciona a função de Bessel com funções trigonométricas. Para
, temos:
Isso porque, ao substituir
na definição de
, as séries e integrais envolvidas simplificam para a função seno.
Passo 5
De maneira similar, para
, a função de Bessel
pode ser expressa usando o cosseno. Aplicando o mesmo raciocínio:
Aqui, a função cosseno surge naturalmente ao lidar com a ordem
na definição das funções de Bessel.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
e
Exercícios relacionados
Escreva o Dominio Df das seguintes funções e esboce Df graficamente.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Sendo
a transformada de Fourier de
, demonstre que a transformada de Fourier de
é dada por
em que
é uma constante.
Verifique a continuidade da função no ponto indicado:
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f) ,
(f)