Dado que Gamma(1 / 2) = raiz(pi), demonstre que
J_{1/2}(x) = raiz(2 / (pi x)) * sen(x)
e
J_{-1/2}(x) = raiz(2 / (pi x)) * cos(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que . A tarefa é demonstrar que as funções de Bessel de primeira espécie de ordem e podem ser expressas usando funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar usar a definição das funções de Bessel e algumas propriedades da função Gamma.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição das funções de Bessel de primeira espécie:
Mas, para ordens meio-inteiras como e , é mais fácil usar as representações conhecidas em termos de funções trigonométricas.

Passo 3

Sabemos que, para , a função de Bessel pode ser expressa usando o seno. A expressão geral para ordens meio-inteiras é:
Onde e são polinômios. Para , os polinômios simplificam, e a expressão fica mais simples.

Passo 4

Vamos utilizar a integração que relaciona a função de Bessel com funções trigonométricas. Para , temos:
Isso porque, ao substituir na definição de , as séries e integrais envolvidas simplificam para a função seno.

Passo 5

De maneira similar, para , a função de Bessel pode ser expressa usando o cosseno. Aplicando o mesmo raciocínio:
Aqui, a função cosseno surge naturalmente ao lidar com a ordem na definição das funções de Bessel.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
e

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