Sendo
, então. calcule o valor de
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite
, onde
e
é um número real. Isso está relacionado ao conceito de derivada na Matemática, que nos ajuda a entender a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Vamos usar a definição de derivada para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a função
na expressão do limite. Isso significa substituir
e
na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do numerador. Vamos distribuir os sinais e ver o que temos:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Vamos expandir
usando o binômio de Newton, que nos ajuda a quebrar potências de binômios:
Substituindo de volta na expressão:
Simplificando, os termos
se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0. Observe que os termos que contêm
vão zerar porque qualquer número multiplicado por 0 é 0:
Resposta
O valor do limite é
.
Exercícios relacionados
Mostre, pela definição de limite que
.
Simplifique:
;
Sendo
, então, calcule o valor
, sendo
.
Calcule o valor de cada um dos limites abaixo.
i) ;
xv) ;
xxvii) ;
ii) ;
xvi) ;
xxviii)
;
iii) ;
xvii) ;
xxix) ;
v) ;
xviii) ;
;
vi) ;
xix) ;
xxxi) ;
vii) ;
xx) ;
viii) ;
xxi) ;
xxxii) ;
ix) ;
xxii) ;
xxxiii) ;
x) ;
xxiii) ;
xxxiv) ;
xi) ;
xxiv) ;
.
xii) ;
xxv)
xxxvi) ;
xiii) ;
;
xxxvii) ;
xiv) ;
i)
xv)
xxvii)
ii)
xvi)
iii)
xvii)
xxix)
v)
xviii)
vi)
xix)
xxxi)
vii)
xx)
viii)
xxi)
xxxii)
ix)
xxii)
xxxiii)
x)
xxiii)
xxxiv)
xi)
xxiv)
xii)
xxv)
xxxvi)
xiii)
xxxvii)
xiv)