Sendo f(x)=-x^4+1, então. calcule o valor de lim t 0 f(a+t)-f(a)t, sendo a in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite , onde e é um número real. Isso está relacionado ao conceito de derivada na Matemática, que nos ajuda a entender a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Vamos usar a definição de derivada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função f(a+t) - f(a)t = [-(a+t)^4 + 1] - [-a^4 + 1]t na expressão do limite. Isso significa substituir e na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do numerador. Vamos distribuir os sinais e ver o que temos:
[-(a+t)^4 + 1] - [-a^4 + 1] = - (a+t)^4 + 1 + a^4 - 1 = - (a+t)^4 + a^4
Então, a expressão fica:
- (a+t)^4 + a^4 t

Passo 4

Vamos expandir (a+t)^4 = a^4 + 4a^3 t + 6a^2 t^2 + 4a t^3 + t^4 usando o binômio de Newton, que nos ajuda a quebrar potências de binômios:
- (a^4 + 4a^3 t + 6a^2 t^2 + 4a t^3 + t^4) + a^4 t = - a^4 -4a^3 t -6a^2 t^2 -4a t^3 - t^4 + a^4 t
Substituindo de volta na expressão:
-4a^3 t -6a^2 t^2 -4a t^3 - t^4 t = -4a^3 -6a^2 t -4a t^2 - t^3
Simplificando, os termos se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando lim t 0 (-4a^3 -6a^2 t -4a t^2 - t^3) = -4a^3 tende a 0. Observe que os termos que contêm vão zerar porque qualquer número multiplicado por 0 é 0:

Resposta

O valor do limite é .

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