Sendo f(x)=-x^4+1, então. calcule o valor de lim t 0 f(a+t)-f(a)t, sendo a in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite , onde e é um número real. Isso está relacionado ao conceito de derivada na Matemática, que nos ajuda a entender a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Vamos usar a definição de derivada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função f(a+t) - f(a)t = [-(a+t)^4 + 1] - [-a^4 + 1]t na expressão do limite. Isso significa substituir e na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do numerador. Vamos distribuir os sinais e ver o que temos:
[-(a+t)^4 + 1] - [-a^4 + 1] = - (a+t)^4 + 1 + a^4 - 1 = - (a+t)^4 + a^4
Então, a expressão fica:
- (a+t)^4 + a^4 t

Passo 4

Vamos expandir (a+t)^4 = a^4 + 4a^3 t + 6a^2 t^2 + 4a t^3 + t^4 usando o binômio de Newton, que nos ajuda a quebrar potências de binômios:
- (a^4 + 4a^3 t + 6a^2 t^2 + 4a t^3 + t^4) + a^4 t = - a^4 -4a^3 t -6a^2 t^2 -4a t^3 - t^4 + a^4 t
Substituindo de volta na expressão:
-4a^3 t -6a^2 t^2 -4a t^3 - t^4 t = -4a^3 -6a^2 t -4a t^2 - t^3
Simplificando, os termos se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando lim t 0 (-4a^3 -6a^2 t -4a t^2 - t^3) = -4a^3 tende a 0. Observe que os termos que contêm vão zerar porque qualquer número multiplicado por 0 é 0:

Resposta

O valor do limite é .

Exercícios relacionados

Mostre, pela definição de limite que lim x 2(2 x+4)=8.
Simplifique: (x^3 - 8) / (x - 2);
Sendo f(x) = x^2 + 3x - 7, então, calcule o valor lem(t -> 0) (f(a + t) - f(a)) / t, sendo a in R.
Calcule o valor de cada um dos limites abaixo.
i) lim x 0(3-7 x-5 x^2);
xv) lim x raiz2 2 x^2-x3 x;
xxvii) lim y -2 y^3+8y+2;
ii) lim x 3(3 x^2-7 x+2);
xvi) lim x 2 x raizx-raiz23 x-4; xxviii) lim x 1 raizx-1x-1;
iii) lim x -1(-x^5+6 x^4+2);
xvii) lim x 5(3 x-7);
xxix) lim x -3 raizx^2-92 x^2+7 x+3;
v) lim x -1[(x+4)^3(x+2)^-1];
xviii) lim x 2(x^2+2 x-1);
x x x) lim x 0 raizx+2-raiz2x;
vi) lim x 0[(x-2)^10(x+4)^2;
xix) lim x -2(x^3+8);
xxxi) lim x 1 raiz[3]x-1x-1;
vii) lim x 2 x+43 x-1;
xx) lim x 3 4 x-55 x-1;
viii) lim t 2 t+3t+2;
xxi) lim t 2 t^2-52 t^3+6;
xxxii) lim h 0 raiz[3]h+1-1h;
ix) lim x 1 x^2-1x-1;
xxii) lim x 1 raiz8 x+1x+3;
xxxiii) lim x -1 2 x^2-x-3x^3+2 x^2+6 x+5;
x) lim t 2 t^2+5 t+6t+2;
xxiii) lim x 4 raiz[3]x^2-3 x+42 x^2-x-1;
xxxiv) lim y 4 2 y^3-11 y^2+10 y+83 y^3-17 y^2+16 y+16;
xi) lim t 2 t^2-5 t+6t-2;
xxiv) lim x 7 x^2-49x-7;
x x x v) lim x 3 2 x^3-5 x^2-2 x-34 x^3-13 x^2+4 x-3.
xii) lim s 12 s+42 s;
xxv) lim x 4 3 x^2-8 x-162 x^2-9 x+4
xxxvi) lim t 4 2 t^3-11 t^2+10 t+83 t^3-17 t^2+16 t+16;
xiii) lim x 4 raiz[3]2 x+3;
x x v i) lim x -32 4 x^2-92 x+3;
xxxvii) lim x 3 2 x^3-5 x^2-2 x-34 x^3-13 x^2+4 x-3;
xiv) lim x 7(3 x+2)^2 / 3;