Mostre, pela definição de limite que lim x 2(2 x+4)=8.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 8. A matéria que vamos usar aqui é a definição de limite, especificamente a definição formal que envolve (epsilon) e (delta). Vamos precisar entender como fazer essa relação entre e para provar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Segundo a definição de limite, para todo número pequeno , existe um tal que sempre que a distância entre e 2 for menor que (ou seja, ), a distância entre e 8 será menor que (ou seja, ).

Passo 3

Vamos simplificar a expressão . Isso fica , que pode ser fatorado como . Então, queremos que . Para garantir isso, precisamos que .

Passo 4

Então, se escolhermos |2x + 4 - 8| = 2|x - 2| < 2 cdot epsilon2 = epsilon , sempre que , teremos:
Isso satisfaz a condição da definição de limite.

Resposta

Portanto, mostramos que pela definição de limite, escolhendo .

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