Sendo
, é possível escolher o valor de
tal que a função
seja contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por
para todo
diferente de 2. A pergunta é: será que dá para escolher um valor para
de jeito que a função toda fique contínua em
?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função em
, ou seja:
Então, para o nosso caso, queremos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular esse limite. Note que
está se aproximando de 2, mas nunca é exatamente 2. Vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 2 pela direita (
) e pela esquerda (
) separadamente.
Passo 4
Quando
:
-
se aproxima de 0 pelo lado positivo, ou seja, . - Então,
tende a . - E a função
é igual a .
Então:
Passo 5
Quando
:
-
se aproxima de 0 pelo lado negativo, ou seja, . - Então,
tende a . - E a função
é igual a .
Então:
Passo 6
Agora, vamos comparar os limites laterais:
Como esses dois limites são diferentes, o limite geral
não existe.
Passo 7
Para a função ser contínua em
, precisaríamos que:
Mas como o limite não existe (os limites laterais são diferentes), não tem como escolher um valor para
que satisfaça essa igualdade.
Resposta
Não, não é possível escolher um valor para
que torne a função contínua em
.
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por
.
Verifique a integral definida da função entre dois limites pode ser expressa usando
Verifique a integral definida da função
Determine as integrais definidas:
Ache o limite, se existir:
se
Determine
de modo que as seguintes funções sejam contínuas em
:
a) ;
b) ;
a)
b)