Sendo , é possível escolher o valor de tal que a função seja contínua em ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por para todo diferente de 2. A pergunta é: será que dá para escolher um valor para de jeito que a função toda fique contínua em ?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função em , ou seja:
Então, para o nosso caso, queremos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular esse limite. Note que está se aproximando de 2, mas nunca é exatamente 2. Vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 2 pela direita ( ) e pela esquerda ( ) separadamente.

Passo 4

Quando :
  • se aproxima de 0 pelo lado positivo, ou seja, .
  • Então, tende a .
  • E a função é igual a .
Então:

Passo 5

Quando :
  • se aproxima de 0 pelo lado negativo, ou seja, .
  • Então, tende a .
  • E a função é igual a .
Então:

Passo 6

Agora, vamos comparar os limites laterais:
Como esses dois limites são diferentes, o limite geral não existe.

Passo 7

Para a função ser contínua em , precisaríamos que:
Mas como o limite não existe (os limites laterais são diferentes), não tem como escolher um valor para que satisfaça essa igualdade.

Resposta

Não, não é possível escolher um valor para que torne a função contínua em .

Exercícios relacionados

Considere a função definida por .
Verifique a integral definida da função entre dois limites pode ser expressa usando
Determine as integrais definidas:
Ache o limite, se existir: se
Determine de modo que as seguintes funções sejam contínuas em :
a) ;
b) ;