Considere a função f(x) definida por f(x)=integral0^x sen(t) d t.
Verifique a integral definida da função f(x) entre dois limites pode ser expressa usando f(x)

Passo 1

Entendendo o problema:
A gente tem uma função definida por . A tarefa aqui é verificar como calcular a integral definida dessa função entre dois limites, digamos e , usando apenas a própria função . Ou seja, queremos encontrar uma expressão para que envolva de alguma forma.

Passo 2

Calculando f(x) = integral0^x sen(t) , dt :
Primeiro, vamos encontrar uma expressão mais simples para f(x) = -cos(x) + cos(0) = -cos(x) + 1 . Sabemos que:
A integral de é f(x) = 1 - cos(x) , então:
Portanto, podemos escrever:

Passo 3

Configurando a integral definida de integrala^b f(x) , dx :
Queremos encontrar:
integrala^b (1 - cos(x)) , dx
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 4

Calculando a integral:
Vamos separar a integral em duas partes:
integrala^b 1 , dx - integrala^b cos(x) , dx
Calculando cada parte:
  1. integrala^b f(x) , dx = (b - a) - (sen(b) - sen(a))
Então, juntando as duas partes:

Passo 5

Expressando em termos de cos(x) = 1 - f(x) :
Lembre que integrala^b f(x) , dx = (b - a) - [sen(b) - sen(a)] . Podemos rearranjar isso para encontrar 1 = f(x) + cos(x) = f(x) + (1 - f(x)) = 1 :
Vamos substituir na expressão da integral:
Mas também podemos expressar em termos de :
Para simplificar, note que a expressão final já está em termos de , pois .

Resposta

A integral definida de integrala^b f(x) , dx = (b - a) + f(b) - f(a) entre os limites e pode ser expressa da seguinte forma usando :

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