Sendo e , para que valores reais de e serão linearmente independentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , e queremos descobrir para quais valores de esses vetores são linearmente independentes. Isso tá relacionado à álgebra linear, mais especificamente ao conceito de independência linear.
Passo 2
Primeiro, o que é ser linearmente independente? Basicamente, dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um número escalar. Em outras palavras, não tem como escrever como ou vice-versa, onde é uma constante.
Passo 3
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, a gente pode usar o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são dependentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com e como colunas:
O determinante dessa matriz é calculado assim:
Passo 5
Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante precisa ser diferente de zero:
Resolvendo essa inequação:
Resposta
Os vetores e são linearmente independentes para todos os valores reais de exceto e .