Sendo u=(k, 8) e v=(2, k), para que valores reais de k, u e v serão linearmente independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , e queremos descobrir para quais valores de esses vetores são linearmente independentes. Isso tá relacionado à álgebra linear, mais especificamente ao conceito de independência linear.

Passo 2

Primeiro, o que é ser linearmente independente? Basicamente, dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um número escalar. Em outras palavras, não tem como escrever como ou vice-versa, onde é uma constante.

Passo 3

Para verificar se os vetores são linearmente independentes, a gente pode usar o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são dependentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com A = k & 2 8 & k e det(A) = k cdot k - 8 cdot 2 = k^2 - 16 como colunas:
O determinante dessa matriz é calculado assim:

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante precisa ser diferente de zero:
k^2 - 16 neq 0
Resolvendo essa inequação:
k^2 neq 16 k neq pm 4

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes para todos os valores reais de exceto e .

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