Sendo e , para que valores reais de e serão linearmente independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , e queremos descobrir para quais valores de esses vetores são linearmente independentes. Isso tá relacionado à álgebra linear, mais especificamente ao conceito de independência linear.

Passo 2

Primeiro, o que é ser linearmente independente? Basicamente, dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um número escalar. Em outras palavras, não tem como escrever como ou vice-versa, onde é uma constante.

Passo 3

Para verificar se os vetores são linearmente independentes, a gente pode usar o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são dependentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com e como colunas:
O determinante dessa matriz é calculado assim:

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante precisa ser diferente de zero:
Resolvendo essa inequação:

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes para todos os valores reais de exceto e .

Exercícios relacionados

Para quais valores de e o sistema abaixo (i) não tem solução, (ii) tem uma única solução, (iii) tem mais de uma solução?
Sendo e , escreva a matriz como combinação linear de e .
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de :
Considere o sistema abaixo.

(a) Discuta o sistema abaixo em função dos parâmetros e .