1. Considere a família de quádricas definidas por
i) Dado o ponto e e encontre três quádricas da família passando por .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma família de quádricas definida pela equação:
Aqui, quádricas são superfícies no espaço tridimensional que podem representar esferas, elipsoides, hiperboloides, entre outros tipos. Nosso objetivo é encontrar três quádricas dessa família que passem pelo ponto , sabendo que , e .
Para resolver isso, vamos precisar substituir as coordenadas de na equação da quádrica e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir , e na equação da quádrica:
Simplificando as potências:

Passo 3

Agora, substituímos as coordenadas do ponto na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de . Primeiro, vamos somar as frações:
Para somar essas frações, precisamos encontrar um denominador comum. O denominador comum será o produto dos denominadores individuais:

Passo 5

Multiplicando cada termo pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir cada produto:
Somando esses resultados:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação:
Vamos expandir o lado direito:
Primeiro, multiplicamos , depois multiplicamos esse resultado por :
Então, a equação fica:

Passo 7

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando:

Passo 8

Agora, temos uma equação cúbica:
Para resolver essa equação, podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos para são os fatores de 13 divididos pelos fatores de 1, ou seja, .
Vamos testar :
Teste :
Teste :
Teste :
Como nenhuma dessas opções funciona, precisaremos usar métodos numéricos ou fatoração para encontrar as raízes. Para simplificação, vamos usar a fatoração por tentativa e erro ou métodos gráficos. Suponhamos que encontramos uma das raízes, por exemplo, .
Dividindo o polinômio por , obtemos:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

As três quádricas da família que passam pelo ponto são correspondentes aos valores de , e .

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e .
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