Sendo
a função de transferência (total) de um sistema realimentado, responda:
(a) obtenha a expressão de sua resposta ao degrau unitário
, a qual é equivalente à expressão da saída
na condição
.
(a) obtenha a expressão de sua resposta ao degrau unitário
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de transferência
de um sistema com realimentação. O que precisamos fazer é encontrar a resposta desse sistema quando a entrada
é um degrau unitário, que é representado por
. Basicamente, vamos descobrir como a saída
se comporta quando aplicamos um degrau na entrada. Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace e um pouco de álgebra para resolver.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a Transformada de Laplace do degrau unitário
é
. Então, para encontrar
, multiplicamos a função de transferência por
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão usando frações parciais. Queremos escrever
na forma:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos expandir e organizar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:
- Da terceira equação:
- Da primeira equação:
então - Da segunda equação:
então
Passo 6
Substituindo os valores encontrados de
,
e
na expressão das frações parciais:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar
aplicando a Transformada de Laplace inversa. Vamos fazer isso termo por termo.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Para , completamos o quadrado no denominador:
Para
Então, reescrevemos o numerador em termos de
:
Assim:
Aplicando a Transformada de Laplace inversa:
Passo 8
Juntando tudo, a resposta completa
é a soma dos dois termos:
Resposta
A resposta ao degrau unitário é: