Sendo Y(s)R(s)=100(s^2+6 s+25) a função de transferência (total) de um sistema realimentado, responda:
(a) obtenha a expressão de sua resposta ao degrau unitário s(t), a qual é equivalente à expressão da saída y(t) na condição r(t)=u(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de transferência de um sistema com realimentação. O que precisamos fazer é encontrar a resposta desse sistema quando a entrada é um degrau unitário, que é representado por . Basicamente, vamos descobrir como a saída se comporta quando aplicamos um degrau na entrada. Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace e um pouco de álgebra para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a Transformada de Laplace do degrau unitário Y(s) = 100s^2 + 6s + 25 cdot 1s = 100s(s^2 + 6s + 25) é . Então, para encontrar , multiplicamos a função de transferência por :

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão usando frações parciais. Queremos escrever 100s(s^2 + 6s + 25) = As + Bs + Cs^2 + 6s + 25 na forma:
100 = A(s^2 + 6s + 25) + (Bs + C)s
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos expandir e organizar os termos:
100 = A s^2 + 6A s + 25A + Bs^2 + Cs
Agrupando os termos semelhantes:
100 = (A + B)s^2 + (6A + C)s + 25A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:
  • Da terceira equação:
  • Da primeira equação: então
  • Da segunda equação: então

Passo 6

Substituindo os valores encontrados de Y(s) = 4s + -4s - 24s^2 + 6s + 25 , e na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar L^-14s = 4u(t) aplicando a Transformada de Laplace inversa. Vamos fazer isso termo por termo.
Primeiro termo:
s^2 + 6s + 25 = (s + 3)^2 + 16
Segundo termo:
Para -4s - 24 = -4(s + 3) - 12 , completamos o quadrado no denominador:
-4s - 24s^2 + 6s + 25 = -4(s + 3)(s + 3)^2 + 16 - 12(s + 3)^2 + 16
Então, reescrevemos o numerador em termos de L^-1-4(s + 3)(s + 3)^2 + 16 = -4e^-3tcos(4t) :
L^-1-12(s + 3)^2 + 16 = -124e^-3tsin(4t) = -3e^-3tsin(4t)
Assim:
Aplicando a Transformada de Laplace inversa:

Passo 8

Juntando tudo, a resposta completa y(t) = 4u(t) - 4e^-3tcos(4t) - 3e^-3tsin(4t) é a soma dos dois termos:

Resposta

A resposta ao degrau unitário é:
y(t) = 4u(t) - 4e^-3tcos(4t) - 3e^-3tsin(4t)

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