Um sistema com realimentação unitária possui uma FTMA dada por
.
© Determine o valor do erro em regime permanente que seria observado no sistema caso:
;
ou
.
© Determine o valor do erro em regime permanente que seria observado no sistema caso:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre sistemas com realimentação unitária e pede para determinar o erro em regime permanente para três tipos diferentes de entradas: um degrau (
), uma rampa (
) e uma entrada parabólica (
). Para isso, vamos usar conceitos de análise de erro em regime permanente em sistemas de controle. Precisamos entender como calcular o erro que fica depois que o sistema estabiliza, ou seja, quando o tempo tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o erro em regime permanente (
) pode ser encontrado usando o Teorema do Valor Final. Esse teorema nos diz que:
Onde
é a transformada de Laplace do erro. Sabemos que em um sistema de realimentação unitária:
Aqui,
é a transformada de Laplace da entrada desejada (
).
Passo 3
Vamos começar com a primeira entrada:
, que é um degrau unitário. A transformada de Laplace de um degrau unitário é:
Agora, substituímos na expressão do erro:
Então, para encontrar
:
Passo 4
Vamos calcular
com
:
Para
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda entrada:
, que é uma rampa. A transformada de Laplace de uma rampa é:
Aplicando na expressão do erro:
Então,
Dado que
para
já encontramos anteriormente:
Então:
Isso indica que, para uma rampa, o erro em regime permanente é infinito, ou seja, o sistema não consegue acompanhar uma entrada de rampa perfeitamente.
Passo 6
Por último, vamos considerar a entrada:
, que é uma entrada parabólica. A transformada de Laplace de uma entrada parabólica é:
Substituindo na expressão do erro:
Então,
Com
, temos:
Isso mostra que, para uma entrada parabólica, o erro em regime permanente também é infinito.
Resposta
O erro em regime permanente para as entradas dadas é:
- Para
: - Para
: - Para
: