Um sistema com realimentação unitária possui uma FTMA dada por G(s)=1000(s+8)(s+7)(s+9).
© Determine o valor do erro em regime permanente que seria observado no sistema caso: r(t)=u(t); r(t)=t u(t) ; ou r(t)=t^2 u(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre sistemas com realimentação unitária e pede para determinar o erro em regime permanente para três tipos diferentes de entradas: um degrau ( u(t)), uma rampa ( t u(t)) e uma entrada parabólica ( t^2 u(t)). Para isso, vamos usar conceitos de análise de erro em regime permanente em sistemas de controle. Precisamos entender como calcular o erro que fica depois que o sistema estabiliza, ou seja, quando o tempo tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o erro em regime permanente ( ess) pode ser encontrado usando o Teorema do Valor Final. Esse teorema nos diz que:
ess = limt to infty e(t) = lims to 0 sE(s)
Onde E(s) é a transformada de Laplace do erro. Sabemos que em um sistema de realimentação unitária:
E(s) = R(s)1 + G(s)
Aqui, R(s) é a transformada de Laplace da entrada desejada ( r(t)).

Passo 3

Vamos começar com a primeira entrada: r(t) = u(t), que é um degrau unitário. A transformada de Laplace de um degrau unitário é:
R(s) = 1s
Agora, substituímos na expressão do erro:
E(s) = 1s1 + G(s)
Então, para encontrar ess:
ess = lims to 0 s cdot 1s1 + G(s) = lims to 0 11 + G(s)

Passo 4

Vamos calcular 1 + G(s) com G(s) = 1000(s+8)(s+7)(s+9):
1 + G(s) = 1 + 1000(s+8)(s+7)(s+9) = (s+7)(s+9) + 1000(s+8)(s+7)(s+9)
Para s to 0:
(s+7)(s+9) = 7 times 9 = 63 1000(s+8) = 1000 times 8 = 8000 1 + G(0) = 63 + 800063 = 806363
Então:
ess = 1806363 = 638063 approx 0,0078

Passo 5

Agora, vamos para a segunda entrada: r(t) = t u(t), que é uma rampa. A transformada de Laplace de uma rampa é:
R(s) = 1s^2
Aplicando na expressão do erro:
E(s) = 1s^21 + G(s)
Então,
ess = lims to 0 s cdot 1s^21 + G(s) = lims to 0 1s(1 + G(s))
Dado que 1 + G(s) para s to 0 já encontramos anteriormente:
1 + G(0) = 806363
Então:
ess = lims to 0 1s cdot 806363 to infty
Isso indica que, para uma rampa, o erro em regime permanente é infinito, ou seja, o sistema não consegue acompanhar uma entrada de rampa perfeitamente.

Passo 6

Por último, vamos considerar a entrada: r(t) = t^2 u(t), que é uma entrada parabólica. A transformada de Laplace de uma entrada parabólica é:
R(s) = 2s^3
Substituindo na expressão do erro:
E(s) = 2s^31 + G(s)
Então,
ess = lims to 0 s cdot 2s^31 + G(s) = lims to 0 2s^2(1 + G(s))
Com 1 + G(0) = 806363, temos:
ess = lims to 0 2s^2 cdot 806363 to infty
Isso mostra que, para uma entrada parabólica, o erro em regime permanente também é infinito.

Resposta

O erro em regime permanente para as entradas dadas é:
  • Para r(t) = u(t): ess approx 0,0078
  • Para r(t) = t u(t): ess to infty
  • Para r(t) = t^2 u(t): ess to infty

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