A sequência é definida do seguinte modo: a1 = 5 an+1 = an + 3. Determine a média aritmética dos primeiros 51 termos dessa sequência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência onde o primeiro termo é 5 e cada termo seguinte aumenta 3 em relação ao anterior. Nosso objetivo aqui é calcular a média aritmética dos primeiros 51 termos dessa sequência. Vamos precisar entender como funciona uma sequência aritmética e usar algumas fórmulas básicas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa sequência é aritmética. Isso significa que a diferença entre um termo e o próximo é sempre a mesma, que nesse caso é 3. Em uma sequência aritmética, podemos encontrar qualquer termo usando a fórmula:
Onde:
- $ a_n $ é o enésimo termo,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ d $ é a diferença comum,
- $ n $ é a posição do termo que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos usar essa fórmula para encontrar o 51º termo da sequência. Aqui, $ a_1 = 5 $, $ d = 3 $ e $ n = 51 $. Substituindo na fórmula:
Então, o 51º termo da sequência é 155.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a soma dos primeiros 51 termos dessa sequência para depois calcular a média. A fórmula para a soma dos primeiros $ n $ termos de uma sequência aritmética é:
Onde:
- $ S_n $ é a soma dos $ n $ termos,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ a_n $ é o enésimo termo,
- $ n $ é o número de termos.
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar a soma dos 51 termos:
Então, a soma dos primeiros 51 termos é 4080.
Passo 6
Por fim, para encontrar a média aritmética dos primeiros 51 termos, basta dividir a soma pelo número de termos:
Resposta
A média aritmética dos primeiros 51 termos da sequência é 80.