Em R5, considere o conjunto de vetores C = {(1,-3,0,4,1), (-3,-4,1,2,1), (4,1,-1,2,0), (0,5,1,0,2), (3,-1,2,0,4)} e determine a dimensão e uma base para o gerado de C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem um conjunto de vetores no espaço $ \mathbb{R}^5 $ e precisamos descobrir duas coisas: a dimensão do espaço gerado por esses vetores e uma base para esse espaço. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, dimensão e base, além de aplicar eliminação de Gauss para simplificar os vetores e identificar quais são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores que a gente tem em uma matriz. Cada vetor será uma linha dessa matriz:
Agora, nosso objetivo é simplificar essa matriz para encontrar o posto dela, que nos dará a dimensão do espaço gerado pelos vetores. Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma forma triangular.
Passo 3
Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (que é 1).
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Eliminando abaixo da primeira linha:
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Linha 2 (L2): $ L2 + 3 \times L1 $
L2 + 3 times L1 Nova L2: $ [0, -13, 1, 14, 4] $ -
Linha 3 (L3): $ L3 - 4 \times L1 $
-3 + 3 times 1 = 0 -4 + 3 times (-3) = -13 1 + 3 times 0 = 1 2 + 3 times 4 = 14 1 + 3 times 1 = 4 Nova L3: $ [0, 13, -1, -14, -4] $ -
Linha 5 (L5): $ L5 - 3 \times L1 $
[0, -13, 1, 14, 4] Nova L5: $ [0, 8, 2, -12, 1] $
A matriz agora fica assim:L3 - 4 times L1 -
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna para eliminar abaixo e acima do pivô (que agora é -13 na linha 2).
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Eliminando na Linha 3 (L3):
- $ L3 + L2 $
Nova L3: $ [0, 0, 0, 0, 0] $L3 + L2
- $ L3 + L2 $
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Eliminando nas Linhas 4 e 5:
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Linha 4 (L4): Para eliminar o 5 da segunda coluna, vamos multiplicar a Linha 2 por $ \frac{5}{-13} $ e somar com L4.
0 + 0 = 0 13 + (-13) = 0 -1 + 1 = 0 -14 + 14 = 0 -4 + 4 = 0 Nova L4: $ [0, 0, \frac{8}{13}, -\frac{70}{13}, \frac{6}{13}] $ -
Linha 5 (L5): Para eliminar o 8 da segunda coluna, vamos multiplicar a Linha 2 por $ \frac{8}{-13} $ e somar com L5.
[0, 0, 0, 0, 0] Nova L5: $ [0, 0, \frac{18}{13}, \frac{-44}{13}, \frac{-19}{13}] $
A matriz agora é:5-13 -
Passo 5
Continuando a simplificação, vamos focar na terceira coluna.
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Normalizando a Linha 4 (L4):
- Multiplicamos L4 por $ \frac{13}{8} $ para tornar o primeiro elemento da coluna 3 igual a 1.
Nova L4: $ [0, 0, 1, -\frac{35}{4}, \frac{3}{4}] $138
- Multiplicamos L4 por $ \frac{13}{8} $ para tornar o primeiro elemento da coluna 3 igual a 1.
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Eliminando na Linha 5 (L5):
- Subtraímos $ \frac{18}{13} $ vezes a nova L4 da Linha 5 para zerar o elemento da terceira coluna.
Nova L5: $ [0, 0, 0, 0, 0] $L4 times 138 = [0, 0, 1, -708, 68] = [0, 0, 1, -354, 34]
A matriz agora está na forma:[0, 0, 1, -354, 34] - Subtraímos $ \frac{18}{13} $ vezes a nova L4 da Linha 5 para zerar o elemento da terceira coluna.
Passo 6
Pronto! Agora temos a matriz em forma escalonada. Vamos contar quantas linhas não nulas temos:
- Linha 1: Não nula
- Linha 2: Não nula
- Linha 3: Nula
- Linha 4: Não nula
- Linha 5: Nula
Então, temos 3 linhas não nulas, o que significa que o posto da matriz é 3. Isso nos diz que a dimensão do espaço gerado pelo conjunto $ C $ é 3.
Para encontrar uma base, selecionamos os vetores correspondentes às linhas que não ficaram nulas após a eliminação. Nesse caso, as Linhas 1, 2 e 4 representam vetores independentes.
Resposta
A dimensão do espaço gerado pelo conjunto $ C $ é 3, e uma base para esse espaço é formada pelos seguintes vetores: