Durante o processo de tratamento uma peça de metal sofre uma variação de temperatura descrita pela função: f(t) = 2 + 4t – t², 0 < t < 5. Em que instante a temperatura atinge seu valor máximo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que uma peça de metal está passando por um tratamento onde sua temperatura varia com o tempo, seguindo a função $ f(t) = 2 + 4t - t^2 $ para $ 0 < t < 5 $. Nosso objetivo é descobrir em que momento, ou seja, em qual valor de $ t $, a temperatura atinge seu ponto mais alto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de derivadas para encontrar máximos de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar o ponto de máximo da função $ f(t) $, vamos usar a derivada dela. A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo. Quando a derivada é zero, pode ser um ponto de máximo ou mínimo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(t) $. A derivada de $ 2 $ é $ 0 $, a derivada de $ 4t $ é $ 4 $ e a derivada de $ -t^2 $ é $ -2t $. Então, a derivada de $ f(t) $ é:
Passo 4
Agora, para encontrar onde a temperatura atinge o máximo, vamos igualar a derivada a zero e resolver para $ t $:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Passo 6
Encontramos que $ t = 2 $ é um ponto crítico. Para confirmar que é um máximo, podemos verificar a segunda derivada ou observar o comportamento da derivada antes e depois desse ponto. Aqui, como o coeficiente de $ t^2 $ na função original é negativo, sabemos que a parábola abre para baixo, indicando que $ t = 2 $ é realmente um ponto de máximo.
Resposta
A temperatura atinge seu valor máximo no instante $ t = 2 $ segundos.