Considere os seguinte ideais de
e
. Assinale a alternativa correta.
(a)
e
são maximais e
não é primo.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três ideais em
:
A pergunta quer que a gente verifique se:
-
e são ideais maximais -
não é um ideal primo
Para isso, vamos precisar entender o que são ideais maximais e primos, e como verificar essas propriedades em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é um ideal maximal. Um ideal
em um anel
é maximal se ele é um ideal próprio (ou seja,
) e não existe nenhum ideal
tal que
.
Em termos mais simples, um ideal maximal é “o maior possível” entre os ideais que não são o próprio anel.
Passo 3
Agora, um ideal primo. Um ideal
é primo se, sempre que um produto
está em
, pelo menos um dos elementos
ou
está em
. Outra forma de ver isso é que o anel quociente
é um domínio de integridade (ou seja, não tem divisores de zero).
Passo 4
Vamos começar analisando o ideal
.
Para verificar se
é maximal, precisamos ver se o anel quociente
é um corpo. Mas
não é um campo, então
provavelmente não será um campo, o que sugere que
não é maximal.
Além disso, em
, ideais maximais geralmente são gerados por ideais maximais de
(como ideais gerados por primos) juntamente com polinômios irredutíveis sobre esses primos. O ideal
não segue essa estrutura claramente, indicando que ele não é maximal.
Passo 5
Agora, vamos para o ideal
.
Aqui, o ideal é gerado por um polinômio
e pelo número 5. Para verificar se
é maximal, consideramos o anel quociente
.
Como 5 está no ideal, isso significa que estamos essencialmente trabalhando em
. Se
for irredutível sobre
, então o ideal será maximal.
Vamos ver se
é irredutível em
. Em
, 3 é equivalente a -2, então temos
. Verificando se
tem raízes em
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Como não há raízes,
é irredutível em
, então
é um ideal maximal.
Passo 6
Por fim, vamos analisar o ideal
para verificar se ele não é primo.
Para isso, olhamos para o anel quociente
. Se esse anel for um domínio de integridade, então
seria primo. Mas como 7 está no ideal, estamos trabalhando em
.
Precisamos ver se
é irredutível em
. Calculando as raízes:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Sem raízes,
é irredutível, o que sugere que
é um ideal primo, já que o anel quociente é um domínio de integridade.
Resposta
A alternativa (a) está errada, porque apenas o ideal
é maximal, enquanto
não é maximal e
é primo.