Considere os seguinte ideais de Z[X]: I = < X^2 - 2 >, J = < 7, X^2 + 1 > e K = < X^2 - 3,5 >. Assinale a alternativa correta.
(a) I e K são maximais e J não é primo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três ideais em :
A pergunta quer que a gente verifique se:
  • I e K são ideais maximais
  • J não é um ideal primo
Para isso, vamos precisar entender o que são ideais maximais e primos, e como verificar essas propriedades em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é um ideal maximal. Um ideal M em um anel R é maximal se ele é um ideal próprio (ou seja, ) e não existe nenhum ideal N tal que .
Em termos mais simples, um ideal maximal é “o maior possível” entre os ideais que não são o próprio anel.

Passo 3

Agora, um ideal primo. Um ideal P é primo se, sempre que um produto está em P, pelo menos um dos elementos a ou b está em P. Outra forma de ver isso é que o anel quociente é um domínio de integridade (ou seja, não tem divisores de zero).

Passo 4

Vamos começar analisando o ideal .
Para verificar se I é maximal, precisamos ver se o anel quociente é um corpo. Mas Z não é um campo, então provavelmente não será um campo, o que sugere que I não é maximal.
Além disso, em , ideais maximais geralmente são gerados por ideais maximais de Z (como ideais gerados por primos) juntamente com polinômios irredutíveis sobre esses primos. O ideal I não segue essa estrutura claramente, indicando que ele não é maximal.

Passo 5

Agora, vamos para o ideal .
Aqui, o ideal é gerado por um polinômio e pelo número 5. Para verificar se K é maximal, consideramos o anel quociente .
Como 5 está no ideal, isso significa que estamos essencialmente trabalhando em . Se for irredutível sobre , então o ideal será maximal.
Vamos ver se é irredutível em . Em , 3 é equivalente a -2, então temos . Verificando se tem raízes em :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Como não há raízes, é irredutível em , então K é um ideal maximal.

Passo 6

Por fim, vamos analisar o ideal para verificar se ele não é primo.
Para isso, olhamos para o anel quociente . Se esse anel for um domínio de integridade, então J seria primo. Mas como 7 está no ideal, estamos trabalhando em .
Precisamos ver se é irredutível em . Calculando as raízes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Sem raízes, é irredutível, o que sugere que J é um ideal primo, já que o anel quociente é um domínio de integridade.

Resposta

A alternativa (a) está errada, porque apenas o ideal K é maximal, enquanto I não é maximal e J é primo.

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