Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência . A pergunta é: essa sequência converge ou diverge? E se ela converge, qual é o limite? Para resolver isso, vamos falar sobre sequências e limites, usando um pouco de cálculo. Precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os componentes da sequência. No numerador, temos , que cresce linearmente conforme aumenta. No denominador, temos , que cresce exponencialmente. Isso já dá uma pista de que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Passo 3

Para formalizar isso, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:
Quando temos uma forma do tipo , podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora, o denominador ainda tende ao infinito, então o limite inteiro tende a zero.

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é 0.

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