Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência
. A pergunta é: essa sequência converge ou diverge? E se ela converge, qual é o limite? Para resolver isso, vamos falar sobre sequências e limites, usando um pouco de cálculo. Precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os componentes da sequência. No numerador, temos
, que cresce linearmente conforme
aumenta. No denominador, temos
, que cresce exponencialmente. Isso já dá uma pista de que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
Passo 3
Para formalizar isso, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Quando temos uma forma do tipo
, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora, o denominador
ainda tende ao infinito, então o limite inteiro tende a zero.
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é 0.
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Seja
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