Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a sequência . O que a gente precisa descobrir é se essa sequência converge ou diverge quando vai para o infinito, e, se convergir, qual é o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, , sempre está entre -1 e 1, independentemente do valor de . Isso significa que:
Agora, vamos dividir tudo por , que é positivo:

Passo 3

O próximo passo é analisar o comportamento dos limites das expressões e quando tende ao infinito. Sabemos que:
Então, tanto quanto convergem para 0 quando cresce sem parar.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema do Sanduíche (ou Teorema de Aperfeiçoamento). Esse teorema diz que se uma sequência está “presa” entre duas outras que convergem para o mesmo limite, então a sequência no meio também converge para esse limite. No nosso caso:
E vimos que ambos os extremos tendem para 0. Portanto, pela regra do sanduíche:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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