Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a sequência
. O que a gente precisa descobrir é se essa sequência converge ou diverge quando
vai para o infinito, e, se convergir, qual é o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno,
, sempre está entre -1 e 1, independentemente do valor de
. Isso significa que:
Agora, vamos dividir tudo por
, que é positivo:
Passo 3
O próximo passo é analisar o comportamento dos limites das expressões
e
quando
tende ao infinito. Sabemos que:
Então, tanto
quanto
convergem para 0 quando
cresce sem parar.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema do Sanduíche (ou Teorema de Aperfeiçoamento). Esse teorema diz que se uma sequência está “presa” entre duas outras que convergem para o mesmo limite, então a sequência no meio também converge para esse limite. No nosso caso:
E vimos que ambos os extremos tendem para 0. Portanto, pela regra do sanduíche:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 0.
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