Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a sequência
definida por
converge ou diverge. Pra isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e como o cosseno se comporta quando multiplicado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
alterna entre 1 e -1 dependendo se
é par ou ímpar. Isso porque:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite dessa sequência quando
vai para o infinito. Temos:
Aqui,
cresce sem limites enquanto
apenas alterna entre 1 e -1.
Passo 4
Para determinar se a sequência converge, precisamos ver se existe um número
tal que
se aproxima de
quando
cresce. Porém, como
cresce indefinidamente e
continua alternando,
não se aproxima de nenhum número fixo.
Passo 5
Além disso, como
tende ao infinito, a magnitude de
também tende ao infinito, mesmo que o sinal esteja alternando. Isso significa que a sequência não apenas não converge, mas também não é limitada.
Resposta
A sequência
diverge.
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Encontre o ponto terminal,
, no círculo unitário determinado pelos seguintes valores de
.
(d)
(d)
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