Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a sequência definida por converge ou diverge. Pra isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e como o cosseno se comporta quando multiplicado por .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que alterna entre 1 e -1 dependendo se é par ou ímpar. Isso porque:
Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa sequência quando vai para o infinito. Temos:
Aqui, cresce sem limites enquanto apenas alterna entre 1 e -1.

Passo 4

Para determinar se a sequência converge, precisamos ver se existe um número tal que se aproxima de quando cresce. Porém, como cresce indefinidamente e continua alternando, não se aproxima de nenhum número fixo.

Passo 5

Além disso, como tende ao infinito, a magnitude de também tende ao infinito, mesmo que o sinal esteja alternando. Isso significa que a sequência não apenas não converge, mas também não é limitada.

Resposta

A sequência diverge.

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Encontre o ponto terminal, , no círculo unitário determinado pelos seguintes valores de .
(d)
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