Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, explicando cada passo de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência . Aqui, a gente está elevando o número 8 a uma potência que depende de , que é o índice da sequência. Conforme aumenta, a potência diminui.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o limite de uma sequência. O limite de quando tende ao infinito é o valor para o qual os termos da sequência se aproximam. Se esse limite existe e é um número finito, dizemos que a sequência converge. Caso contrário, ela diverge.

Passo 4

Para encontrar o limite de , podemos reescrever a expressão usando logaritmos, o que facilita o cálculo:
Aqui, usamos a propriedade .

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece com quando cresce sem parar. Como é uma constante, e está no denominador, temos:
Isso significa que o expoente tende a zero conforme vai para o infinito.

Passo 6

Voltando à expressão original, já sabemos que tende a zero. Então:
Portanto, o limite da sequência quando tende ao infinito é 1.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é igual a 1.

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