Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, explicando cada passo de forma simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência
. Aqui, a gente está elevando o número 8 a uma potência que depende de
, que é o índice da sequência. Conforme
aumenta, a potência
diminui.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o limite de uma sequência. O limite
de
quando
tende ao infinito é o valor para o qual os termos da sequência se aproximam. Se esse limite existe e é um número finito, dizemos que a sequência converge. Caso contrário, ela diverge.
Passo 4
Para encontrar o limite de
, podemos reescrever a expressão usando logaritmos, o que facilita o cálculo:
Aqui, usamos a propriedade
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece com
quando
cresce sem parar. Como
é uma constante, e
está no denominador, temos:
Isso significa que o expoente
tende a zero conforme
vai para o infinito.
Passo 6
Voltando à expressão original, já sabemos que
tende a zero. Então:
Portanto, o limite da sequência
quando
tende ao infinito é 1.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é igual a 1.
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