Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge e, se convergir, qual é o limite. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e usar logaritmos para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma que seja mais fácil de analisar o limite. Podemos fazer isso usando logaritmos e a propriedade das potências:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Podemos separar os termos:
Agora, vamos analisar o comportamento desses termos quando
tende para o infinito:
-
tende a 0 porque é uma constante e cresce sem limite. -
também tende a 0 porque cresce mais devagar que .
Então, podemos concluir que:
Passo 4
Finalmente, para encontrar o limite de
, usamos a propriedade exponencial inversa do logaritmo natural:
Resposta
A sequência
converge e seu limite é 1.
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Seja
.
;
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nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Seja
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Seja
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Descreva as curvas de nível com os valores de
obtidos em a).
Descreva as curvas de nível