Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge e, se convergir, qual é o limite. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e usar logaritmos para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma que seja mais fácil de analisar o limite. Podemos fazer isso usando logaritmos e a propriedade das potências:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Podemos separar os termos:
Agora, vamos analisar o comportamento desses termos quando tende para o infinito:
  • tende a 0 porque é uma constante e cresce sem limite.
  • também tende a 0 porque cresce mais devagar que .
Então, podemos concluir que:

Passo 4

Finalmente, para encontrar o limite de , usamos a propriedade exponencial inversa do logaritmo natural:

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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Seja .
Descreva as curvas de nível com os valores de obtidos em a).