Qual seria a altura da atmosfera se a densidade do ar (a) fosse constante e (b) diminuísse linearmente a zero com a altura? Suponha que a densidade ao nível do mar é 1,3 kg∙m-3 .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente quer descobrir qual seria a altura da atmosfera sob duas condições diferentes de densidade do ar. A densidade do ar ao nível do mar é dada como 1,3 kg/m³. Os dois casos são:
(a) A densidade do ar é constante com a altura.
(b) A densidade do ar diminui linearmente até chegar a zero com a altura.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física atmosférica, especificamente a equação de equilíbrio hidrostático, que relaciona a variação de pressão com a densidade e a gravidade. Não se preocupa se esses termos parecerem complicados agora, vamos entender passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de equilíbrio hidrostático, que é:
dPdz = -rho g
Aqui, $ \frac{dP}{dz} $ é a taxa de variação da pressão com a altura, $ \rho $ é a densidade do ar, e $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s² na Terra).
Essa equação basicamente nos diz que a pressão diminui à medida que a gente sobe na atmosfera, e essa diminuição depende da densidade do ar e da gravidade.

Passo 3

Vamos começar com o caso (a), onde a densidade do ar é constante com a altura. Isso significa que $ \rho $ não depende de $ z $, então podemos tratar $ \rho $ como uma constante.
Dessa forma, a equação se simplifica para:
rho
Para encontrar a altura onde a pressão chega a zero (ou seja, o topo da atmosfera), vamos integrar essa equação.

Passo 4

Integrando ambos os lados da equação em relação a $ z $:
z
Onde:
  • $ P_0 $ é a pressão ao nível do mar.
  • $ H $ é a altura da atmosfera que queremos encontrar.
A integração nos dá:
integralP0^0 dP = -rho g integral0^H dz
Simplificando:
P0

Passo 5

Agora, vamos isolar $ H $ para encontrar a altura da atmosfera:
H
Mas aqui temos um problema: não nos foi dado o valor da pressão ao nível do mar ($ P_0 $). No entanto, podemos expressar a altura em termos de $ P_0 $, ou assumir um valor padrão para $ P_0 $ se necessário. Para fins deste exercício, vamos deixar a resposta em termos de $ P_0 $.

Passo 6

Então, resumindo o que fizemos no caso (a):
  • Usamos a equação de equilíbrio hidrostático.
  • Consideramos a densidade constante.
  • Integramos para encontrar a altura $ H $.
A altura da atmosfera quando a densidade do ar é constante é dada por:
H

Passo 7

Agora, vamos para o caso (b), onde a densidade do ar diminui linearmente até chegar a zero com a altura. Isso significa que a densidade $ \rho $ depende de $ z $ de forma linear.
Podemos expressar a densidade como:
rho
Onde:
  • $ \rho_0 $ é a densidade ao nível do mar (1,3 kg/m³).
  • $ H $ é a altura da atmosfera.

Passo 8

Voltando à equação de equilíbrio hidrostático:
dPdz = -rho(z) g = -rho0 (1 - zH) g
Vamos integrar essa equação para encontrar a relação entre pressão e altura.

Passo 9

Integrando ambos os lados:
integralP0^0 dP = -rho0 g integral0^H (1 - zH) dz
A integral do lado direito é:
-rho0 g [ z - z^22H ]0^H = -rho0 g [ H - H^22H ] = -rho0 g [ H - H2 ] = -rho0 g ( H2 )
Então, temos:
P0 = rho0 g H2

Passo 10

Agora, isolando $ H $:
H
Essa é a altura da atmosfera no caso em que a densidade diminui linearmente até zero.

Resposta

(a) Quando a densidade do ar é constante, a altura da atmosfera é $ H = \frac{P_0}{\rho g} $.
(b) Quando a densidade do ar diminui linearmente até zero com a altura, a altura da atmosfera é $ H = \frac{2 P_0}{\rho_0 g} $.

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