Esse seria o caso de um sistema massa-mola com pouca dissipação de energia. Intuitivamente, diga qual seria o comportamento da solução
. Faça um esboço para ilustrar sua intuição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema massa-mola com pouca dissipação de energia. Isso significa que estamos lidando com um sistema oscilatório, onde uma massa está presa a uma mola e há um pouco de resistência (como atrito) que faz com que a energia do sistema diminua com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as oscilações funcionam nesse contexto e como a dissipação afeta o movimento da massa ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um sistema massa-mola. Imagine uma massa presa a uma mola. Quando você puxa ou empurra a massa e depois a solta, ela começa a oscilar para frente e para trás. Essa oscilação é descrita pela função
, que nos mostra a posição da massa em função do tempo.
Passo 3
Agora, quando falamos sobre dissipação de energia, estamos nos referindo à perda de energia do sistema, geralmente por atrito ou resistência do ar. No caso de pouca dissipação, essa perda ocorre, mas de forma lenta. Isso significa que a massa continua oscilando por mais tempo antes de eventualmente parar.
Passo 4
Vamos trazer a teoria das oscilações amortecidas. A equação que descreve esse tipo de movimento é:
Aqui:
-
é a amplitude inicial, -
é o coeficiente de amortecimento (quanto maior, mais rápido a dissipação), -
é a frequência angular das oscilações, -
é a fase inicial.
Como temos pouca dissipação, o valor de
é pequeno. Isso significa que o termo
diminui lentamente, mantendo a amplitude das oscilações quase constante por mais tempo.
Passo 5
Intuitivamente, isso quer dizer que a massa continuará oscilando com uma amplitude que diminui lentamente. No gráfico de
, isso aparece como ondas que não decaem muito rápido, ou seja, elas continuam altas por mais tempo antes de eventualmente diminuir.
Passo 6
Para o esboço, imagine um gráfico onde o eixo horizontal representa o tempo
e o eixo vertical representa a posição
. Desenhe uma curva oscilante (como uma onda senoidal) que vai ficando ligeiramente mais baixa conforme o tempo passa, mas sem decair rapidamente. As “picos” da onda diminuem devagar, refletindo a pouca dissipação de energia.
Resposta
O comportamento da solução
é de oscilações periódicas com amplitude que diminui lentamente ao longo do tempo, devido à pouca dissipação de energia. O esboço mostraria ondas senoidais com amplitudes suavemente decrescentes.
Exercícios relacionados
a)
e
, então
.
Enuncie o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
c)
e
, então
.
Explique o que significa fisicamente os dois termos do lado direito da equação.