Esse seria o caso de um sistema massa-mola com pouca dissipação de energia. Intuitivamente, diga qual seria o comportamento da solução . Faça um esboço para ilustrar sua intuição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema massa-mola com pouca dissipação de energia. Isso significa que estamos lidando com um sistema oscilatório, onde uma massa está presa a uma mola e há um pouco de resistência (como atrito) que faz com que a energia do sistema diminua com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as oscilações funcionam nesse contexto e como a dissipação afeta o movimento da massa ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um sistema massa-mola. Imagine uma massa presa a uma mola. Quando você puxa ou empurra a massa e depois a solta, ela começa a oscilar para frente e para trás. Essa oscilação é descrita pela função , que nos mostra a posição da massa em função do tempo.

Passo 3

Agora, quando falamos sobre dissipação de energia, estamos nos referindo à perda de energia do sistema, geralmente por atrito ou resistência do ar. No caso de pouca dissipação, essa perda ocorre, mas de forma lenta. Isso significa que a massa continua oscilando por mais tempo antes de eventualmente parar.

Passo 4

Vamos trazer a teoria das oscilações amortecidas. A equação que descreve esse tipo de movimento é:
Aqui:
  • é a amplitude inicial,
  • é o coeficiente de amortecimento (quanto maior, mais rápido a dissipação),
  • é a frequência angular das oscilações,
  • é a fase inicial.
Como temos pouca dissipação, o valor de é pequeno. Isso significa que o termo diminui lentamente, mantendo a amplitude das oscilações quase constante por mais tempo.

Passo 5

Intuitivamente, isso quer dizer que a massa continuará oscilando com uma amplitude que diminui lentamente. No gráfico de , isso aparece como ondas que não decaem muito rápido, ou seja, elas continuam altas por mais tempo antes de eventualmente diminuir.

Passo 6

Para o esboço, imagine um gráfico onde o eixo horizontal representa o tempo e o eixo vertical representa a posição . Desenhe uma curva oscilante (como uma onda senoidal) que vai ficando ligeiramente mais baixa conforme o tempo passa, mas sem decair rapidamente. As “picos” da onda diminuem devagar, refletindo a pouca dissipação de energia.

Resposta

O comportamento da solução é de oscilações periódicas com amplitude que diminui lentamente ao longo do tempo, devido à pouca dissipação de energia. O esboço mostraria ondas senoidais com amplitudes suavemente decrescentes.

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a) e , então .
Enuncie o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
c) e , então .
Explique o que significa fisicamente os dois termos do lado direito da equação.