Enuncie o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. O exercício quer que a gente enuncie o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. Esse teorema faz parte do estudo de cálculo vetorial, mais especificamente das integrais de linha e campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de campo conservativo e função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. É uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. Imagine que você está caminhando por um caminho e, em cada ponto do caminho, você coleta um valor; a integral de linha é a soma total desses valores ao longo do caminho.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre campos vetoriais conservativos. Um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar chamada de função potencial. Em outras palavras, se existe uma função tal que , então é um campo conservativo.

Passo 4

O Teorema Fundamental das Integrais de Linha conecta esses conceitos. Ele diz que, se você tem um campo vetorial conservativo, a integral de linha desse campo ao longo de qualquer curva depende apenas dos pontos inicial e final da curva, e não do caminho que você tomou entre eles.

Resposta

O Teorema Fundamental das Integrais de Linha afirma que se é um campo vetorial conservativo, ou seja, existe uma função potencial tal que , então para qualquer curva que liga um ponto a um ponto , a integral de linha de ao longo de é igual à diferença dos valores da função potencial nos pontos finais. Matematicamente, isso é representado por:

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