Uma série de experimentos realizados num escoamento tridimensional e incompressível indicou que
e
. Entretanto os dados relativos a velocidade na direção
, apresentam conflitos. Um conjunto de dados experimentais indica que
e outro indica
. Qual dos dois conjuntos é o correto? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um escoamento tridimensional e incompressível onde as componentes de velocidade nas direções
e
são dadas por:
Mas aí surgiu uma dúvida com a componente na direção
,
, porque temos dois conjuntos de dados:
Precisamos descobrir qual desses dois está correto. Para isso, vamos usar o princípio de incompressibilidade dos fluidos, que nos dá uma relação entre as componentes de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o escoamento ser incompressível. Em termos matemáticos, isso quer dizer que a divergência do vetor velocidade é zero. A equação da continuidade para um escoamento incompressível é:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais usando as expressões de
e
que temos.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Agora, substituímos esses resultados na equação da continuidade:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a expressão para
que satisfaça essa derivada. Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Como estamos lidando com um escoamento sem dependência explícita de
além dos termos já presentes, assumimos que
. Portanto:
Resposta
O conjunto correto para a componente
é:
Esse resultado satisfaz a equação da continuidade para um escoamento incompressível, confirmando que esse é o conjunto de dados válido.