Uma série de experimentos realizados num escoamento tridimensional e incompressível indicou que u=6 x y^2 e v=-4 y^2 z. Entretanto os dados relativos a velocidade na direção z, apresentam conflitos. Um conjunto de dados experimentais indica que w=4 y z^2 e outro indica w=4 y z^2-6 y^2 z. Qual dos dois conjuntos é o correto? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um escoamento tridimensional e incompressível onde as componentes de velocidade nas direções u = 6xy^2 e v = -4y^2z e w = 4yz^2 ou w = 4yz^2 - 6y^2z são dadas por:
Mas aí surgiu uma dúvida com a componente na direção , , porque temos dois conjuntos de dados:
Precisamos descobrir qual desses dois está correto. Para isso, vamos usar o princípio de incompressibilidade dos fluidos, que nos dá uma relação entre as componentes de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o escoamento ser incompressível. Em termos matemáticos, isso quer dizer que a divergência do vetor velocidade é zero. A equação da continuidade para um escoamento incompressível é:
partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z = 0
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais usando as expressões de e que temos.

Passo 3

Calculando partial upartial x = partialpartial x(6xy^2) = 6y^2 :
partial vpartial y = partialpartial y(-4y^2z) = -8yz
Agora, calculando 6y^2 - 8yz + partial wpartial z = 0 :
partial wpartial z = -6y^2 + 8yz
Agora, substituímos esses resultados na equação da continuidade:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para w = integral (-6y^2 + 8yz) , dz = -6y^2z + 4yz^2 + C que satisfaça essa derivada. Vamos integrar w = -6y^2z + 4yz^2 em relação a :
Onde é a constante de integração. Como estamos lidando com um escoamento sem dependência explícita de além dos termos já presentes, assumimos que . Portanto:

Resposta

O conjunto correto para a componente w = 4yz^2 - 6y^2z é:
Esse resultado satisfaz a equação da continuidade para um escoamento incompressível, confirmando que esse é o conjunto de dados válido.

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