Uma série de experimentos realizados num escoamento tridimensional e incompressível indicou que
e
. Entretanto os dados relativos a velocidade na direção
, apresentam conflitos. Um conjunto de dados experimentais indica que
e outro indica
. Qual dos dois conjuntos é o correto? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um escoamento tridimensional e incompressível onde as componentes de velocidade nas direções
e
são dadas por:
Mas aí surgiu uma dúvida com a componente na direção
,
, porque temos dois conjuntos de dados:
Precisamos descobrir qual desses dois está correto. Para isso, vamos usar o princípio de incompressibilidade dos fluidos, que nos dá uma relação entre as componentes de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o escoamento ser incompressível. Em termos matemáticos, isso quer dizer que a divergência do vetor velocidade é zero. A equação da continuidade para um escoamento incompressível é:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais usando as expressões de
e
que temos.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Agora, substituímos esses resultados na equação da continuidade:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a expressão para
que satisfaça essa derivada. Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Como estamos lidando com um escoamento sem dependência explícita de
além dos termos já presentes, assumimos que
. Portanto:
Resposta
O conjunto correto para a componente
é:
Esse resultado satisfaz a equação da continuidade para um escoamento incompressível, confirmando que esse é o conjunto de dados válido.
Exercícios relacionados
Uma máquina térmica opera em um ciclo de Carnot com eficiência de
. Qual seria o coeficiente de eficácia de um refrigerador operando no mesmo ciclo? A temperatura mínima é de
.
(Geankoplis, 2003) Uma mistura de hidrocarboneto a
é bombeada a uma taxa de 200 gpm de um tanque com pressão absoluta de 1 atm, até uma torre de destilação. A densidade da alimentação é
e sua pressão de vapor é
. A velocidade na sucção da bomba é
e a perda de carga entre o tanque e a bomba é de 3,5 m . O NPSHr requerido é 6 ft .
a) Quantos metros abaixo do nível do tanque deve estar a bomba para obter o NPSH requerido.
b) Se a mistura estiver no ponto de ebulição, calcule a posição da bomba.
a) Quantos metros abaixo do nível do tanque deve estar a bomba para obter o NPSH requerido.
b) Se a mistura estiver no ponto de ebulição, calcule a posição da bomba.
Um coletor solar de placa plana é colocado horizontalmente em um telhado. Para determinar sua eficiência, é necessário calcular a perda de calor para o ambiente a partir da superfície. O coletor é uma longa tira com 1 ft de largura. Sua temperatura superficial é de
. Se um vento a
estiver soprando sobre o coletor a uma velocidade de
, calcule as quantidades a seguir nas posições
e
. As propriedades do ar na temperatura de filme
são
.
a. Coeficiente local de transferência de calor por convecção;
b. Coeficiente médio de transferência de calor por convecção;
c. Taxa de transferência de calor por convecção.
a. Coeficiente local de transferência de calor por convecção;
b. Coeficiente médio de transferência de calor por convecção;
c. Taxa de transferência de calor por convecção.