Uma série de experimentos realizados num escoamento tridimensional e incompressível indicou que e . Entretanto os dados relativos a velocidade na direção , apresentam conflitos. Um conjunto de dados experimentais indica que e outro indica . Qual dos dois conjuntos é o correto? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um escoamento tridimensional e incompressível onde as componentes de velocidade nas direções e são dadas por:
Mas aí surgiu uma dúvida com a componente na direção , , porque temos dois conjuntos de dados:
Precisamos descobrir qual desses dois está correto. Para isso, vamos usar o princípio de incompressibilidade dos fluidos, que nos dá uma relação entre as componentes de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o escoamento ser incompressível. Em termos matemáticos, isso quer dizer que a divergência do vetor velocidade é zero. A equação da continuidade para um escoamento incompressível é:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais usando as expressões de e que temos.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculando :
Agora, substituímos esses resultados na equação da continuidade:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para que satisfaça essa derivada. Vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração. Como estamos lidando com um escoamento sem dependência explícita de além dos termos já presentes, assumimos que . Portanto:

Resposta

O conjunto correto para a componente é:
Esse resultado satisfaz a equação da continuidade para um escoamento incompressível, confirmando que esse é o conjunto de dados válido.

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