Deida sobre a convergência da série
sumn=1^infty raiz[3]n+3n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série infinita
sumn=1^infty raiz[3]n+3n+1
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como comparar essa série com outras que a gente já conhece se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para ver como ela se comporta quando raiz[3]n+3n+1 approx raiz[3]nn = n^1/3n = 1n^2/3 fica bem grande. Observando os termos, temos:
Então, para termos grandes, o termo geral da série se comporta parecido com .

Passo 3

Sabemos que a série é uma série p. Ela converge se e diverge se . No nosso caso, comparando com , que é menor que 1, essa série diverge.

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste de Comparação para conclusões mais precisas. Como já vimos que:
raiz[3]n+3n+1 approx 1n^2/3
e a série raiz[3]n+3n+1 >= cn^2/3 diverge, podemos comparar diretamente:
para algum constante e para suficientemente grande.
Então, pela comparação, se a série maior (no caso, ) diverge, a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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