Uma reta L fica completamente determinada se conhecemos um ponto P0(x0, y0, z0) em L e um vetor v = (a, b, c) que é paralelo à L. Obtenha uma fórmula para as equações paramétricas da reta L. Use a fórmula no caso P0(1, 2, -1) e v = (2, 3, 1) e faça um esboço desta reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre determinar uma reta no espaço tridimensional. Para isso, precisamos de dois elementos:
  1. Um ponto qualquer que pertença à reta, chamado de ponto .
  2. Um vetor que seja paralelo à reta, chamado de vetor direção .
Esses dois elementos serão a base para construir as equações paramétricas da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as equações paramétricas de uma reta. Elas descrevem cada coordenada (x, y, z) em função de um parâmetro, geralmente chamado de . A fórmula geral das equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e tem vetor direção é:
Aqui, é um número real que varia, permitindo gerar todos os pontos da reta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula com os valores fornecidos no problema. Temos:
  • Ponto , ou seja, , , .
  • Vetor direção , ou seja, , , .
Substituindo esses valores na fórmula das equações paramétricas:

Passo 4

Essas equações paramétricas representam todos os pontos que pertencem à reta definida pelo ponto e pelo vetor direção .
Para visualizar essa reta, podemos pensar em como um “escala” que nos permite mover ao longo da direção do vetor a partir do ponto inicial . Variações de vão nos dar diferentes pontos na reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
Onde é um parâmetro real.

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