Sete bolas são retiradas aleatoriamente de uma urna que contém 12 bolas vermelhas, 16 bolas azuis e 18 bolas pretas. Determine a probabilidade de que: Todas as bolas sacadas sejam da mesma cor.

Passo 1

Vamos resolver juntos um problema de probabilidade! A questão nos diz que temos uma urna com 12 bolas vermelhas, 16 bolas azuis e 18 bolas pretas, totalizando 12 + 16 + 18 = 46 bolas. Precisamos encontrar a probabilidade de, ao retirar 7 bolas aleatoriamente, todas elas serem da mesma cor. Para isso, vamos utilizar conceitos de combinação e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o total de maneiras possíveis de retirar 7 bolas da urna. Isso é dado pelas combinações de 46 bolas tomadas 7 a 7, representado por:
Ctotal = binom467

Passo 3

Agora, vamos calcular as maneiras em que todas as 7 bolas retiradas sejam da mesma cor. Temos três possibilidades: todas vermelhas, todas azuis ou todas pretas. Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 4

Todas as bolas vermelhas:
Temos 12 bolas vermelhas, e queremos retirar 7 delas. As combinações possíveis são:
Cvermelhas = binom127
Todas as bolas azuis:
Com 16 bolas azuis, as combinações são:
Cazuis = binom167
Todas as bolas pretas:
Com 18 bolas pretas, as combinações são:
Cpretas = binom187

Passo 5

Agora, somamos todas essas combinações favoráveis:
Cfavoráveis = Cvermelhas + Cazuis + Cpretas = binom127 + binom167 + binom187 á

Passo 6

A probabilidade desejada é a razão entre as combinações favoráveis e o total de combinações possíveis:
P = CfavoráveisCtotal = binom127 + binom167 + binom187binom467 á

Passo 7

Agora, vamos calcular cada uma das combinações:
binom127 = 792
binom167 = 11440
binom187 = 31824
binom467 = 850,668,680

Passo 8

Somando as combinações favoráveis:
Cfavoráveis = 792 + 11440 + 31824 = 44056 á

Passo 9

Finalmente, calculamos a probabilidade:
P = 44056850668680 approx 0,0000517

Resposta

A probabilidade de todas as 7 bolas retiradas serem da mesma cor é aproximadamente 0,00517%.

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