A shear stress
acts in a two-dimensional field in which the maximum allowable shear stress is denoted by
and the major principal stress by
.
Derive, using the geometry of Mohr
Derive, using the geometry of Mohr
Passo 1
Então, você tem um problema envolvendo tensões em um campo bidimensional. Especificamente, há uma tensão de cisalhamento
atuando, e você conhece a máxima tensão de cisalhamento permitida
e a tensão principal maior
. Vamos usar o Círculo de Mohr para relacionar essas tensões e encontrar as expressões para
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o Círculo de Mohr. É uma representação gráfica que ajuda a visualizar as tensões principais e de cisalhamento em um ponto de um material. No caso bidimensional, como o nosso, ele nos permite encontrar as tensões principais
e
, além das tensões normais
,
e a tensão de cisalhamento
.
Passo 3
Para construir o Círculo de Mohr, precisamos identificar o centro e o raio do círculo. O centro
está localizado na média das tensões normais:
E o raio
do círculo é dado por:
Passo 4
As tensões principais
e
são encontradas nos pontos onde o círculo de Mohr intercepta o eixo das tensões normais, ou seja:
Dado que
é a tensão principal maior, podemos focar nessas duas equações.
Passo 5
Vamos resolver essas duas equações para
e
:
- Somando as duas equações:
- Subtraindo as duas equações:
Passo 6
Sabemos que a máxima tensão de cisalhamento
está relacionada ao raio do círculo:
Também, considerando o ponto de aplicação da tensão de cisalhamento
no círculo de Mohr, podemos relacioná-la com as tensões normais
e
.
Passo 7
Combinando as relações acima e resolvendo para
e
, obtemos:
Resposta
As tensões normais são dadas por: