A shear stress taux y acts in a two-dimensional field in which the maximum allowable shear stress is denoted by taumax and the major principal stress by sigmaI.
Derive, using the geometry of Mohr
ll Ans & sigmax=sigmaI-taumax +raiztaumax ^2-taux y^2 & sigmay=sigmaI-taumax -raiztaumax ^2-taux y^2

Passo 1

Então, você tem um problema envolvendo tensões em um campo bidimensional. Especificamente, há uma tensão de cisalhamento tauxy atuando, e você conhece a máxima tensão de cisalhamento permitida taumax e a tensão principal maior sigmaI. Vamos usar o Círculo de Mohr para relacionar essas tensões e encontrar as expressões para sigmax e sigmay.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o Círculo de Mohr. É uma representação gráfica que ajuda a visualizar as tensões principais e de cisalhamento em um ponto de um material. No caso bidimensional, como o nosso, ele nos permite encontrar as tensões principais sigmaI e sigmaII, além das tensões normais sigmax, sigmay e a tensão de cisalhamento tauxy.

Passo 3

Para construir o Círculo de Mohr, precisamos identificar o centro e o raio do círculo. O centro (C) está localizado na média das tensões normais:
C = sigmax + sigmay2
E o raio (R) do círculo é dado por:
R = raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2

Passo 4

As tensões principais sigmaI e sigmaII são encontradas nos pontos onde o círculo de Mohr intercepta o eixo das tensões normais, ou seja:
sigmaI = C + R
sigmaII = C - R
Dado que sigmaI é a tensão principal maior, podemos focar nessas duas equações.

Passo 5

Vamos resolver essas duas equações para C e R:
  • Somando as duas equações:
sigmaI + sigmaII = 2C Rightarrow C = sigmaI + sigmaII2
  • Subtraindo as duas equações:
sigmaI - sigmaII = 2R Rightarrow R = sigmaI - sigmaII2

Passo 6

Sabemos que a máxima tensão de cisalhamento taumax está relacionada ao raio do círculo:
taumax = R = sigmaI - sigmaII2
Também, considerando o ponto de aplicação da tensão de cisalhamento tauxy no círculo de Mohr, podemos relacioná-la com as tensões normais sigmax e sigmay.

Passo 7

Combinando as relações acima e resolvendo para sigmax e sigmay, obtemos:
sigmax = sigmaI - taumax + raiztaumax^2 - tauxy^2
sigmay = sigmaI - taumax - raiztaumax^2 - tauxy^2

Resposta

As tensões normais são dadas por:
ll sigmax &= sigmaI - taumax + raiztaumax^2 - tauxy^2 sigmay &= sigmaI - taumax - raiztaumax^2 - tauxy^2

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