com
e
calcule os valores de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
com a condição inicial
e precisamos encontrar os valores de
no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente o método de separação de variáveis, que nos ajuda a resolver equações onde podemos separar os termos que contêm
dos que contêm
.
Passo 2
Vamos começar separando as variáveis
e
na equação. Queremos deixar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado.
Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Agora, podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função
que satisfaça a equação após a integração.
Integramos o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver as integrações separadamente.
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Igualando as duas integrais e combinando as constantes (
), temos:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 3:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor da constante
. Sabemos que
. Substituindo na equação:
Passo 7
Com o valor de
, a equação fica:
Para encontrar
, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Resposta
A solução para a equação diferencial é: