d y(t) / d t=(t^2-1) / y(t)^2
com y(0)=2 e t in[0: 1] calcule os valores de y(t).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
dy(t)dt = t^2 - 1y(t)^2
com a condição inicial e precisamos encontrar os valores de no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente o método de separação de variáveis, que nos ajuda a resolver equações onde podemos separar os termos que contêm dos que contêm .

Passo 2

Vamos começar separando as variáveis y(t)^2 cdot dy(t)dt = t^2 - 1 e y(t)^2 , dy(t) = (t^2 - 1) , dt na equação. Queremos deixar todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado.
Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por :
Agora, podemos reescrever a equação como:

Passo 3

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função integral y^2 , dy = integral (t^2 - 1) , dt que satisfaça a equação após a integração.
Integramos o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos resolver as integrações separadamente.
Para o lado esquerdo:
integral y^2 , dy = y^33 + C1
Para o lado direito:
integral (t^2 -1) , dt = t^33 - t + C2
onde e são constantes de integração.

Passo 5

Igualando as duas integrais e combinando as constantes ( y^33 = t^33 - t + C ), temos:
y^3 = t^3 - 3t + C
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 3:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor da constante 2^3 = 0^3 - 3 cdot 0 + C implies 8 = 0 + 0 + C implies C = 8 . Sabemos que . Substituindo na equação:

Passo 7

Com o valor de y^3 = t^3 - 3t + 8 , a equação fica:
y(t) = raiz[3], t^3 - 3 t + 8,
Para encontrar , tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:

Resposta

A solução para a equação diferencial é:
y(t) = raiz[3], t^3 - 3 t + 8,

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