Show that if a rigid body moves in relation to a reference frame , then there exists a linear transformation that maps a vector , fixed in the body, into its time derivative in . That is, for every vector fixed in , its time rate in , , can be written as
Hint: Adopt an orthonormal basis , fixed in , in order to decompose the angular velocity vector of the body as
and define a tensor T that, on the same basis, is expressed by the antisymmetric matrix

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um corpo rígido que está se movendo em relação a um referencial . O exercício quer que a gente mostre que existe uma transformação linear que pega um vetor fixo no corpo e transforma na sua derivada temporal no referencial , ou seja, na velocidade com que esse vetor está mudando no tempo conforme visto de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cinemática de corpos rígidos e operações com tensores e matrizes antissimétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um sistema de coordenadas ortonormal fixo no corpo , com vetores base . Esses vetores não mudam de orientação no corpo, ou seja, estão “presas” ao corpo .

Passo 3

Como o corpo está se movendo em relação a , ele tem uma velocidade angular que descreve como o corpo está girando. Podemos decompor essa velocidade angular nas direções dos vetores base do corpo:
Aqui, são as componentes da velocidade angular ao longo de cada direção do corpo.

Passo 4

A derivada temporal de um vetor fixo no corpo, conforme visto do referencial , está relacionada à velocidade angular por meio do produto vetorial. Especificamente:
Isso significa que a taxa de variação de no tempo é dada pelo produto vetorial da velocidade angular com o próprio vetor.

Passo 5

Para facilitar o cálculo, podemos representar o produto vetorial como uma multiplicação matricial utilizando uma matriz antissimétrica . Essa matriz é construída a partir das componentes de da seguinte forma:
Essa matriz tem a propriedade de que para qualquer vetor , o produto será igual a .

Passo 6

Agora, podemos definir a transformação linear como essa matriz antissimétrica . Assim, a derivada temporal de no referencial fica:
Isso mostra que existe de fato uma transformação linear que mapeia o vetor fixo no corpo para sua derivada temporal no referencial .

Resposta

Demonstramos que para todo vetor fixo no corpo , a sua derivada temporal no referencial é dada por:
onde é a matriz antissimétrica construída a partir da velocidade angular do corpo .

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