Find the initial radius of curvature of the trajectory of the plane motion of a particle described by the time functions: , where and are the coordinates of the particle in the plane, in meters, and parameter is the time, in seconds.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos as funções que descrevem o movimento de uma partícula no plano:
Aqui, e são as coordenadas da partícula em metros, e é o tempo em segundos. A pergunta quer saber qual é o raio de curvatura inicial da trajetória dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula do raio de curvatura para uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do raio de curvatura para uma curva parametrizada por :
Vamos precisar calcular as derivadas primeiras e segundas de e em relação ao tempo .
Passo 3
Calculando as derivadas:
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do raio de curvatura:
Simplificando o denominador:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Passo 6
Agora, substituindo de volta na fórmula do raio de curvatura:
Passo 7
Queremos o raio de curvatura inicial, ou seja, quando :
Resposta
O raio de curvatura inicial da trajetória da partícula é de 2 metros.