Find the initial radius of curvature of the trajectory of the plane motion of a particle described by the time functions: x1=2 t ; x2=t^2, where x1 and x2 are the coordinates of the particle in the plane, in meters, and parameter t is the time, in seconds.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos as funções que descrevem o movimento de uma partícula no plano:
x1 = 2t x2 = t^2
Aqui, e são as coordenadas da partícula em metros, e é o tempo em segundos. A pergunta quer saber qual é o raio de curvatura inicial da trajetória dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula do raio de curvatura para uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do raio de curvatura R = ( ( dx1dt )^2 + ( dx2dt )^2 )^3/2| dx1dt d^2x2dt^2 - dx2dt d^2x1dt^2 | para uma curva parametrizada por :
Vamos precisar calcular as derivadas primeiras e segundas de e em relação ao tempo .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Para dx1dt = 2 d^2x1dt^2 = 0 :
dx2dt = 2t d^2x2dt^2 = 2
Para :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do raio de curvatura:
R = ( (2)^2 + (2t)^2 )^3/2| 2 cdot 2 - 2t cdot 0 |
Simplificando o denominador:
2 cdot 2 - 2t cdot 0 = 4

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
(2)^2 + (2t)^2 = 4 + 4t^2 Rightarrow (4 + 4t^2)^3/2 = (4(1 + t^2))^3/2 = 4^3/2 cdot (1 + t^2)^3/2 4^3/2 = (2^2)^3/2 = 2^3 = 8 Rightarrow 8 cdot (1 + t^2)^3/2

Passo 6

Agora, substituindo de volta na fórmula do raio de curvatura:
R = 8 cdot (1 + t^2)^3/24 = 2 cdot (1 + t^2)^3/2

Passo 7

Queremos o raio de curvatura inicial, ou seja, quando R(0) = 2 cdot (1 + 0^2)^3/2 = 2 cdot 1^3/2 = 2 cdot 1 = 2 metros :

Resposta

O raio de curvatura inicial da trajetória da partícula é de 2 metros.

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