Find the initial radius of curvature of the trajectory of the plane motion of a particle described by the time functions: , where and are the coordinates of the particle in the plane, in meters, and parameter is the time, in seconds.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos as funções que descrevem o movimento de uma partícula no plano:
Aqui, e são as coordenadas da partícula em metros, e é o tempo em segundos. A pergunta quer saber qual é o raio de curvatura inicial da trajetória dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula do raio de curvatura para uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do raio de curvatura para uma curva parametrizada por :
Vamos precisar calcular as derivadas primeiras e segundas de e em relação ao tempo .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do raio de curvatura:
Simplificando o denominador:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:

Passo 6

Agora, substituindo de volta na fórmula do raio de curvatura:

Passo 7

Queremos o raio de curvatura inicial, ou seja, quando :

Resposta

O raio de curvatura inicial da trajetória da partícula é de 2 metros.

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parâmetro de rede ;
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