. Pontos críticos em
e
. Como
vemos que
é decrescente no primeiro destes intervalos e crescente nos outros dois.
é ponto de máximo relativo e
de mínimo relativo.A função não tem máximo ou mínimo absolutos, pois
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem a derivada de uma função, que é
. O objetivo é identificar os pontos críticos dessa função, determinar onde ela está crescendo ou decrescendo, classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos relativos e verificar se existem máximos ou mínimos absolutos. Para isso, vamos precisar entender conceitos como derivada, pontos críticos, sinal da derivada e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso,
sempre existe para todo
, então vamos só resolver quando a derivada é zero:
Isso acontece quando
ou
, ou seja, nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Os intervalos são:
Vamos escolher um número de cada intervalo e substituir na derivada para ver se ela é positiva ou negativa.
- Para
, digamos :
Então, a derivada é positiva nesse intervalo, o que significa que a função está crescendo.
- Para
, digamos :
Aqui, a derivada é negativa, então a função está decrescendo.
- Para
, digamos :
A derivada é positiva novamente, então a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 4
Com o sinal da derivada em cada intervalo, podemos classificar os pontos críticos:
-
Em
, a derivada muda de positiva para negativa. Isso indica que a função passa de crescente para decrescente, formando assim um máximo relativo. -
Em
, a derivada muda de negativa para positiva. Isso significa que a função passa de decrescente para crescente, formando um mínimo relativo.
Passo 5
Por último, vamos verificar se a função possui máximos ou mínimos absolutos. Para isso, analisamos os limites da função quando
vai para
e
:
Isso mostra que a função não tem um valor máximo ou mínimo absoluto, já que ela tende ao infinito positivo e negativo sem limite.
Resposta
A função possui dois pontos críticos:
(máximo relativo) e
(mínimo relativo). Ela está crescendo nos intervalos
e
, e decrescendo entre
. Não existe máximo ou mínimo absoluto para a função porque ela tende a
quando
vai para
e a
quando
vai para
.
Exercícios relacionados
Ponto crítico em
, de máximo absoluto. A função é crescente em
e decrescente em
.
Ponto crítico em
, de mínimo absoluto.
é crescente em
e decrescente em
.
Calcule.
j)
j)
(a) Qual o significado da derivada
? Quais são suas unidades?
(b) Dê uma estimativa do valor e interprete-o.
(b) Dê uma estimativa do valor