. Pontos críticos em e . Como
vemos que é decrescente no primeiro destes intervalos e crescente nos outros dois. é ponto de máximo relativo e de mínimo relativo.A função não tem máximo ou mínimo absolutos, pois

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem a derivada de uma função, que é . O objetivo é identificar os pontos críticos dessa função, determinar onde ela está crescendo ou decrescendo, classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos relativos e verificar se existem máximos ou mínimos absolutos. Para isso, vamos precisar entender conceitos como derivada, pontos críticos, sinal da derivada e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, sempre existe para todo , então vamos só resolver quando a derivada é zero:
Isso acontece quando ou , ou seja, nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Os intervalos são:
Vamos escolher um número de cada intervalo e substituir na derivada para ver se ela é positiva ou negativa.
  • Para , digamos :
Então, a derivada é positiva nesse intervalo, o que significa que a função está crescendo.
  • Para , digamos :
Aqui, a derivada é negativa, então a função está decrescendo.
  • Para , digamos :
A derivada é positiva novamente, então a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Com o sinal da derivada em cada intervalo, podemos classificar os pontos críticos:
  • Em , a derivada muda de positiva para negativa. Isso indica que a função passa de crescente para decrescente, formando assim um máximo relativo.
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva. Isso significa que a função passa de decrescente para crescente, formando um mínimo relativo.

Passo 5

Por último, vamos verificar se a função possui máximos ou mínimos absolutos. Para isso, analisamos os limites da função quando vai para e :
Isso mostra que a função não tem um valor máximo ou mínimo absoluto, já que ela tende ao infinito positivo e negativo sem limite.

Resposta

A função possui dois pontos críticos: (máximo relativo) e (mínimo relativo). Ela está crescendo nos intervalos e , e decrescendo entre . Não existe máximo ou mínimo absoluto para a função porque ela tende a quando vai para e a quando vai para .

Exercícios relacionados

Ponto crítico em , de máximo absoluto. A função é crescente em e decrescente em .
Ponto crítico em , de mínimo absoluto. é crescente em e decrescente em .
Calcule.
j)
(a) Qual o significado da derivada ? Quais são suas unidades?
(b) Dê uma estimativa do valor e interprete-o.