f^prime(x)=6(x+3)(x-2). Pontos críticos em x=-3 e x=2. Como
f^prime(x)<0 em -30 em x<-3 e x>2
vemos que f(x) é decrescente no primeiro destes intervalos e crescente nos outros dois. x=-3 é ponto de máximo relativo e x=2 de mínimo relativo.A função não tem máximo ou mínimo absolutos, pois
lim x -infty f(x)=-infty e lim x +infty f(x)=+infty

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem a derivada de uma função, que é . O objetivo é identificar os pontos críticos dessa função, determinar onde ela está crescendo ou decrescendo, classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos relativos e verificar se existem máximos ou mínimos absolutos. Para isso, vamos precisar entender conceitos como derivada, pontos críticos, sinal da derivada e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, 6(x + 3)(x - 2) = 0 sempre existe para todo , então vamos só resolver quando a derivada é zero:
Isso acontece quando ou , ou seja, nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Os intervalos são:
  1. f^prime(-4) = 6(-4 + 3)(-4 - 2) = 6(-1)(-6) = 36 > 0
  2. f^prime(0) = 6(0 + 3)(0 - 2) = 6(3)(-2) = -36 < 0
  3. f^prime(3) = 6(3 + 3)(3 - 2) = 6(6)(1) = 36 > 0
Vamos escolher um número de cada intervalo e substituir na derivada para ver se ela é positiva ou negativa.
  • Para , digamos :
Então, a derivada é positiva nesse intervalo, o que significa que a função está crescendo.
  • Para , digamos :
Aqui, a derivada é negativa, então a função está decrescendo.
  • Para , digamos :
A derivada é positiva novamente, então a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Com o sinal da derivada em cada intervalo, podemos classificar os pontos críticos:
  • Em , a derivada muda de positiva para negativa. Isso indica que a função passa de crescente para decrescente, formando assim um máximo relativo.
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva. Isso significa que a função passa de decrescente para crescente, formando um mínimo relativo.

Passo 5

Por último, vamos verificar se a função possui máximos ou mínimos absolutos. Para isso, analisamos os limites da função quando limx -infty f(x) = -infty e limx +infty f(x) = +infty vai para e :
Isso mostra que a função não tem um valor máximo ou mínimo absoluto, já que ela tende ao infinito positivo e negativo sem limite.

Resposta

A função possui dois pontos críticos: (máximo relativo) e (mínimo relativo). Ela está crescendo nos intervalos e , e decrescendo entre . Não existe máximo ou mínimo absoluto para a função porque ela tende a quando vai para e a quando vai para .

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