Suponha que X é binomialmente distribuída com parâmetros n e p. Além disso, suponha que E(X)=5 e Var(X)=4. Encontre os valores de n e p.

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre a distribuição binomial. A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros (número de tentativas) e (probabilidade de sucesso em cada tentativa). Sabemos que a esperança matemática e a variância . Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas da distribuição binomial:
  • Esperança (Média):
  • Variância:
Sabemos que e . Vamos usar essas informações para criar duas equações.

Passo 3

A partir da esperança:
n times p = 5
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 4

A partir da variância:
n times p times (1 - p) = 4
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para p = 5n :
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação.

Passo 6

Substituindo n times 5n times (1 - 5n) = 4 na segunda equação:
5 times (1 - 5n) = 4
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo a equação:
5 - 25n = 4
Subtraindo 5 de ambos os lados:
- 25n = -1
Multiplicando ambos os lados por 25n = 1 :

Passo 8

Isolando n = 25 :

Passo 9

Agora que sabemos que p = 525 = 0.2 , podemos encontrar usando :

Resposta

Os valores são e .

Exercícios relacionados