Se . Sabendo que e ; determinar e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância . Sabemos que a expectativa de é 68, ou seja, , e que a probabilidade de ser menor que 10 é 0,8413, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da distribuição normal. A expectativa de para uma normal é dada por:
Já sabemos que , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda informação: . Na distribuição normal, sabemos que aproximadamente 84,13% das observações estão abaixo de . Isso significa que:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar em termos de :

Passo 5

Substituindo na primeira equação:
Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 7

Agora que temos os valores de , vamos encontrar usando a relação :
  • Se :
  • Se :

Resposta

Os valores de e que satisfazem as condições são:
  1. e (já que )
  2. e (já que )

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Se . Encontrar os valores de e tal que onde e são simétricos com respeito a média.
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Uma universidade adquiriu um grande lote de monitores de certa marca e modelo para equipar os seus laboratórios de informática. O fabricante desses equipamentos informa que os tempos de duração desses monitores têm distribuição normal, com durabilidade média de 8,2 anos e variância de . Determinar a probabilidade de que um monitor desse lote, selecionado aleatoriamente, acuse um tempo de durabilidade Inferior a 10 anos