Se
. Sabendo que
e
; determinar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma variável aleatória
que segue uma distribuição normal com média
e variância
. Sabemos que a expectativa de
é 68, ou seja,
, e que a probabilidade de
ser menor que 10 é 0,8413, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da distribuição normal. A expectativa de
para uma normal é dada por:
Já sabemos que
, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda informação:
. Na distribuição normal, sabemos que aproximadamente 84,13% das observações estão abaixo de
. Isso significa que:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
na primeira equação:
Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 7
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar
usando a relação
:
- Se
:
- Se
:
Resposta
Os valores de
e
que satisfazem as condições são:
-
e (já que ) -
e (já que )