Se X sim N(mu, sigma^2). Sabendo que E[X^2]=68 e P[X<10]=0,8413; determinar mu e sigma^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância . Sabemos que a expectativa de é 68, ou seja, , e que a probabilidade de ser menor que 10 é 0,8413, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da distribuição normal. A expectativa de E[X^2] = mu^2 + sigma^2 para uma normal é dada por:
mu^2 + sigma^2 = 68 (1)
Já sabemos que , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda informação: mu + sigma = 10 (2) . Na distribuição normal, sabemos que aproximadamente 84,13% das observações estão abaixo de . Isso significa que:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações:
mu^2 + sigma^2 = 68 mu + sigma = 10
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar sigma = 10 - mu em termos de :

Passo 5

Substituindo mu^2 + (10 - mu)^2 = 68 na primeira equação:
mu^2 + (100 - 20mu + mu^2) = 68
Expandindo o quadrado:
2mu^2 - 20mu + 100 = 68
Simplificando:
2mu^2 - 20mu + 32 = 0
mu^2 - 10mu + 16 = 0
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
mu^2 - 10mu + 16 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
mu = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot 162 cdot 1
mu = 10 pm raiz100 - 642
mu = 10 pm raiz362
mu = 10 pm 62
Então, temos duas soluções:
mu = 10 + 62 = 8 ou mu = 10 - 62 = 2

Passo 7

Agora que temos os valores de sigma = 10 - 8 = 2 , vamos encontrar sigma = 10 - 2 = 8 usando a relação :
  • Se :
  • Se :

Resposta

Os valores de e que satisfazem as condições são:
  1. e (já que )
  2. e (já que )

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