Se
. Encontrar os valores de
e
tal que
onde
e
são simétricos com respeito a média.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores
e
de uma distribuição normal
tal que a probabilidade de
estar entre
e
seja 80% (
). Além disso,
e
precisam ser simétricos em relação à média da distribuição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Z-score.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição dada. A notação
significa que
segue uma distribuição normal com média (
) igual a 5 e variância (
) igual a 9. A raiz quadrada da variância nos dá o desvio padrão (
), que nesse caso é
.
Passo 3
Como precisamos encontrar
e
que são simétricos em relação à média, isso significa que
e
, onde
é uma distância igual para ambos os lados da média. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que corresponde a uma probabilidade central de 80%.
Passo 4
Para encontrar
, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão (Z). Primeiro, queremos que
. Como a distribuição é simétrica, a probabilidade para cada lado da média será de 10%, ou seja,
e
.
Passo 5
Agora, vamos converter esses valores para a distribuição Z, que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para converter é:
Para
:
E para
:
Onde
é o valor crítico da tabela Z que corresponde à probabilidade de 0,1 nos extremos.
Passo 6
Consultando a tabela Z, encontramos que
(este é o valor que deixa 10% da distribuição acima de
).
Passo 7
Agora, substituímos
na equação para encontrar
:
Passo 8
Finalmente, calculamos
e
:
Resposta
Os valores são
e
.
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e
; determinar
e
.