Se X sim N(5,9). Encontrar os valores de a e b tal que P[a onde a e b são simétricos com respeito a média.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores e de uma distribuição normal tal que a probabilidade de estar entre e seja 80% ( ). Além disso, e precisam ser simétricos em relação à média da distribuição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Z-score.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição dada. A notação significa que segue uma distribuição normal com média ( ) igual a 5 e variância ( ) igual a 9. A raiz quadrada da variância nos dá o desvio padrão ( ), que nesse caso é .

Passo 3

Como precisamos encontrar e que são simétricos em relação à média, isso significa que e , onde é uma distância igual para ambos os lados da média. Nosso objetivo é encontrar o valor de que corresponde a uma probabilidade central de 80%.

Passo 4

Para encontrar , vamos usar a tabela da distribuição normal padrão (Z). Primeiro, queremos que . Como a distribuição é simétrica, a probabilidade para cada lado da média será de 10%, ou seja, e .

Passo 5

Agora, vamos converter esses valores para a distribuição Z, que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para converter é:
Z = X - musigma
Para Z = a - 53 = -z0,1 :
Z = b - 53 = z0,1
E para :
Onde é o valor crítico da tabela Z que corresponde à probabilidade de 0,1 nos extremos.

Passo 6

Consultando a tabela Z, encontramos que (este é o valor que deixa 10% da distribuição acima de ).

Passo 7

Agora, substituímos k = z0,1 times sigma = 1,28 times 3 = 3,84 na equação para encontrar :

Passo 8

Finalmente, calculamos a = mu - k = 5 - 3,84 = 1,16 e b = mu + k = 5 + 3,84 = 8,84 :

Resposta

Os valores são e .

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