Se X sim N(3,4). Encontrar o número c tal que
P[X >= c]=2 P[X

Passo 1

Então, a questão nos diz que a variável aleatória segue uma distribuição normal com média 3 e variância 4, ou seja, . Precisamos encontrar o valor tal que a probabilidade de ser maior ou igual a seja o dobro da probabilidade de ser menor que . Para resolver isso, vamos usar propriedades da distribuição normal e a tabela da função de distribuição acumulada (CDF) da normal.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar matematicamente a condição dada:
P(X >= c) = 2 cdot P(X < c)
Sabemos que 1 - P(X < c) = 2 cdot P(X < c) , então substituindo na equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para 1 = 2 cdot P(X < c) + P(X < c) :
1 = 3 cdot P(X < c)
P(X < c) = 13

Passo 4

Queremos encontrar o valor de Z = X - musigma tal que a probabilidade acumulada até seja . Para isso, vamos padronizar a variável para transformar a distribuição normal em uma distribuição normal padrão . A padronização é feita pela fórmula:
onde e .

Passo 5

Aplicando a padronização:
P(X < c) = 13 Rightarrow P(Z < c - 32) = 13
Agora, precisamos encontrar o valor de z approx -0.43 tal que . Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:

Passo 6

Agora, voltamos à equação da padronização para encontrar c - 32 = -0.43 :
c - 3 = -0.86
Multiplicando ambos os lados por 2:
c = 3 - 0.86 = 2.14
Somando 3 em ambos os lados:

Resposta

O valor de é aproximadamente .

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