Simplifique, e escreva, a equação da conservação da espécie A em coordenadas cilíndricas quando aplicada a transferência de massa unidimensional radial, em estado não estacionário, e sem geração ou consumo do componente A. Repita a simplificação, agora para transferência unidimensional longitudinal (ao longo de z) e em estado estacionário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para simplificar e escrever a equação de conservação da espécie A em coordenadas cilíndricas para dois casos específicos: transferência de massa unidimensional radial em estado não estacionário sem geração ou consumo de A, e transferência unidimensional longitudinal (ao longo de z) em estado estacionário. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de conservação de massa em coordenadas cilíndricas e como adaptá-la a cada situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de conservação de massa em coordenadas cilíndricas. Essa equação basicamente garante que a massa da espécie A seja conservada dentro do sistema. Em coordenadas cilíndricas partial CApartial t + 1rpartial (r ur CA)partial r + 1rpartial (utheta CA)partial theta + partial (uz CA)partial z = nabla cdot (D nabla CA) + RA , a equação geral é:
Aqui:
  • é a concentração da espécie A,
  • são as componentes da velocidade nas direções ,
  • é o coeficiente de difusão,
  • representa geração ou consumo da espécie A.

Passo 3

Primeiro caso: Transferência de massa unidimensional radial, estado não estacionário, sem geração ou consumo de A.
Vamos simplificar a equação para este caso:
  1. Unidimensional radial: Isso significa que a variação ocorre apenas na direção partial CApartial t + 1rpartial (r ur CA)partial r = 1rpartialpartial r( r D partial CApartial r ) . Portanto, as derivadas em e são zero.
  2. Estado não estacionário: A concentração varia com o tempo.
  3. Sem geração ou consumo de A: .
Aplicando essas condições na equação geral:

Passo 4

Como estamos considerando transferência unidimensional radial, assumimos que não há fluxo de massa nas direções e , e que a velocidade só depende de . Além disso, como não há geração ou consumo de A, a equação fica mais simples, focando apenas na variação temporal e nas derivadas radiais.

Passo 5

Segundo caso: Transferência de massa unidimensional longitudinal (ao longo de z), estado estacionário.
Agora, vamos simplificar a equação para este outro cenário:
  1. Unidimensional longitudinal: A variação ocorre apenas na direção partial (uz CA)partial z = partialpartial z( D partial CApartial z ) . Portanto, as derivadas em e são zero.
  2. Estado estacionário: A concentração não varia com o tempo, então .
  3. Sem geração ou consumo de A: .
Aplicando essas condições na equação geral:

Resposta

Para transferência de massa unidimensional radial, estado não estacionário, sem geração ou consumo de A:
partial CApartial t + 1rpartial (r ur CA)partial r = 1rpartialpartial r( r D partial CApartial r )
E para transferência de massa unidimensional longitudinal (ao longo de z), estado estacionário:
partial (uz CA)partial z = partialpartial z( D partial CApartial z )

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