Simplifique a notação da equação para obter:
d^2/dt^2 x(t) + 2 * gamma * d/dt x(t) + omega_0^2 * x(t) = f(t)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação que você enviou:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que aparece muito em física e engenharia, especialmente quando estamos lidando com sistemas que têm resistência (como amortecimento) e que são forçados por alguma função externa . Para resolver ou simplificar essa equação, vamos precisar entender como representar as derivadas de maneira mais compacta usando notação matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação das derivadas. Em vez de escrever , podemos usar uma notação mais curta. Existem duas maneiras comuns de fazer isso:
  1. Notação de pontos: Usada frequentemente em física, onde um ponto acima da variável indica a primeira derivada em relação ao tempo, e dois pontos indicam a segunda derivada.
    • (primeira derivada)
    • (segunda derivada)
  2. Notação de apóstrofos: Mais comum em matemática pura.
    • (primeira derivada)
    • (segunda derivada)
Vamos usar a notação de pontos para deixar a equação mais enxuta.

Passo 3

Aplicando a notação de pontos na equação original, temos:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo, e representa a primeira derivada.

Passo 4

Agora, para simplificar ainda mais, podemos usar operadores diferenciais. Vamos definir o operador como a derivada em relação ao tempo:
Com isso, a segunda derivada é e a primeira é . Substituindo esses operadores na equação, ela fica:

Passo 5

Podemos fatorar para deixar a equação ainda mais compacta:
Essa é uma forma mais simples e elegante da equação original, usando operadores diferenciais para representar as derivadas.

Resposta

A notação simplificada da equação é:
onde é o operador derivada em relação ao tempo.

Exercícios relacionados