Simplifique a notação da equação para obter:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação que você enviou:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que aparece muito em física e engenharia, especialmente quando estamos lidando com sistemas que têm resistência (como amortecimento) e que são forçados por alguma função externa
. Para resolver ou simplificar essa equação, vamos precisar entender como representar as derivadas de maneira mais compacta usando notação matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação das derivadas. Em vez de escrever
, podemos usar uma notação mais curta. Existem duas maneiras comuns de fazer isso:
-
Notação de pontos: Usada frequentemente em física, onde um ponto acima da variável indica a primeira derivada em relação ao tempo, e dois pontos indicam a segunda derivada.
-
(primeira derivada) -
(segunda derivada)
-
-
Notação de apóstrofos: Mais comum em matemática pura.
-
(primeira derivada) -
(segunda derivada)
-
Vamos usar a notação de pontos para deixar a equação mais enxuta.
Passo 3
Aplicando a notação de pontos na equação original, temos:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo, e
representa a primeira derivada.
Passo 4
Agora, para simplificar ainda mais, podemos usar operadores diferenciais. Vamos definir o operador
como a derivada em relação ao tempo:
Com isso, a segunda derivada é
e a primeira é
. Substituindo esses operadores na equação, ela fica:
Passo 5
Podemos fatorar
para deixar a equação ainda mais compacta:
Essa é uma forma mais simples e elegante da equação original, usando operadores diferenciais para representar as derivadas.
Resposta
A notação simplificada da equação é:
onde
é o operador derivada em relação ao tempo.
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