Os sintomas febre, cansaço e dores no corpo, estão associados em
dos casos às gripes e
às constipações. A automedicação é muito frequente nestas doenças, verificando-se que
das vezes os medicamentos ingeridos para o tratamento da gripe são os aconselhados para as constipações, e em
das situações os medicamentos utilizados para tratamento das constipações são os indicados para a gripe.
(a) Qual a probabilidade de o medicamento ingerido ser realmente o indicado?
(b) Sabendo que o medicamento era o apropriado para a doença, qual a probabilidade de o doente ter tido gripe?
(a) Qual a probabilidade de o medicamento ingerido ser realmente o indicado?
(b) Sabendo que o medicamento era o apropriado para a doença, qual a probabilidade de o doente ter tido gripe?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos dizendo. Temos duas doenças: gripe e constipação.
- 60% dos casos são gripe.
- 40% dos casos são constipação.
Além disso, quando as pessoas se automedicam:
- 40% das vezes, usam medicamentos para constipação quando têm gripe.
- 70% das vezes, usam medicamentos para gripe quando têm constipação.
Vamos precisar entender de probabilidade condicional e da Regra da Probabilidade Total para resolver as partes (a) e (b).
Passo 2
Parte (a): Qual a probabilidade de o medicamento ingerido ser realmente o indicado?
Para encontrar essa probabilidade, vamos considerar duas situações:
- A pessoa tem gripe e toma o medicamento correto para gripe.
- A pessoa tem constipação e toma o medicamento correto para constipação.
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de cada situação acontecer.
Passo 3
Probabilidade de ter gripe e tomar o medicamento indicado para gripe:
- Probabilidade de ter gripe:
- Probabilidade de tomar o medicamento correto para gripe:
Então:
Passo 4
Probabilidade de ter constipação e tomar o medicamento indicado para constipação:
- Probabilidade de ter constipação:
- Probabilidade de tomar o medicamento correto para constipação:
Então:
Passo 5
Agora, para encontrar a probabilidade total de o medicamento ingerido ser realmente o indicado, somamos as duas probabilidades calculadas:
Passo 6
Parte (b): Sabendo que o medicamento era o apropriado para a doença, qual a probabilidade de o doente ter tido gripe?
Aqui, queremos calcular a probabilidade de ter gripe dado que o medicamento era o indicado, ou seja,
. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
Passo 7
Já sabemos que:
-
-
-
(calculado na parte (a))
Substituindo na fórmula:
Resposta
A probabilidade de o doente ter tido gripe, sabendo que o medicamento era o apropriado, é 75%.