Os sintomas febre, cansaço e dores no corpo, estão associados em 60 % dos casos às gripes e 40 % às constipações. A automedicação é muito frequente nestas doenças, verificando-se que 40 % das vezes os medicamentos ingeridos para o tratamento da gripe são os aconselhados para as constipações, e em 70 % das situações os medicamentos utilizados para tratamento das constipações são os indicados para a gripe.
(a) Qual a probabilidade de o medicamento ingerido ser realmente o indicado?
(b) Sabendo que o medicamento era o apropriado para a doença, qual a probabilidade de o doente ter tido gripe?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos dizendo. Temos duas doenças: gripe e constipação.
  • 60% dos casos são gripe.
  • 40% dos casos são constipação.
Além disso, quando as pessoas se automedicam:
  • 40% das vezes, usam medicamentos para constipação quando têm gripe.
  • 70% das vezes, usam medicamentos para gripe quando têm constipação.
Vamos precisar entender de probabilidade condicional e da Regra da Probabilidade Total para resolver as partes (a) e (b).

Passo 2

Parte (a): Qual a probabilidade de o medicamento ingerido ser realmente o indicado?
Para encontrar essa probabilidade, vamos considerar duas situações:
  1. A pessoa tem gripe e toma o medicamento correto para gripe.
  2. A pessoa tem constipação e toma o medicamento correto para constipação.
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de cada situação acontecer.

Passo 3

Probabilidade de ter gripe e tomar o medicamento indicado para gripe:
  • Probabilidade de ter gripe: P(gripe e medicamento indicado) = P(gripe) times P(medicamento indicado ,|, gripe) = 0,6 times 0,6 = 0,36
  • Probabilidade de tomar o medicamento correto para gripe:
Então:

Passo 4

Probabilidade de ter constipação e tomar o medicamento indicado para constipação:
  • Probabilidade de ter constipação: P(constipação e medicamento indicado) = P(constipação) times P(medicamento indicado ,|, constipação) = 0,4 times 0,3 = 0,12 çã
  • Probabilidade de tomar o medicamento correto para constipação: çã
Então:
çãçãçã

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade total de o medicamento ingerido ser realmente o indicado, somamos as duas probabilidades calculadas:
P(medicamento indicado) = P(gripe e medicamento indicado) + P(constipação e medicamento indicado) = 0,36 + 0,12 = 0,48 çã

Passo 6

Parte (b): Sabendo que o medicamento era o apropriado para a doença, qual a probabilidade de o doente ter tido gripe?
Aqui, queremos calcular a probabilidade de ter gripe dado que o medicamento era o indicado, ou seja, P(gripe ,|, medicamento indicado) = P(medicamento indicado ,|, gripe) times P(gripe)P(medicamento indicado) . Para isso, usamos o Teorema de Bayes:

Passo 7

Já sabemos que:
  • P(gripe ,|, medicamento indicado) = 0,6 times 0,60,48 = 0,360,48 = 0,75
  • (calculado na parte (a))
Substituindo na fórmula:

Resposta

A probabilidade de o doente ter tido gripe, sabendo que o medicamento era o apropriado, é 75%.

Exercícios relacionados