No sistema de captação de água, a mesma escoa com uma vazão de 10 l / s, através de uma tubulação de diâmetro interno de 3,6 cm, cuja perda de carga é 2 m . Essa água abastece um tanque de 10 m de altura que está elevado de 14 m em relação ao ponto de captação. Sabendo que a eficiência da bomba é de 75 %, determine a potência motriz da bomba.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de captação de água com uma vazão de 10 l/s que passa por uma tubulação com diâmetro interno de 3,6 cm e perde uma carga de 2 metros devido a atrito na tubulação. Essa água abastece um tanque que está a 10 metros de altura e também elevado 14 metros em relação ao ponto de captação. A bomba que faz esse trabalho tem uma eficiência de 75%. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a potência que a bomba precisa ter para realizar essa tarefa. Para isso, vamos usar conceitos de hidráulica, como vazão, perda de carga, altura manométrica e eficiência da bomba.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação entre a vazão e a área da tubulação para calcular a velocidade da água na tubulação. A fórmula que relaciona vazão ( Q), área ( A) e velocidade ( v) é:
Q = A times v
Onde:
  • Q é a vazão (em m^3/s),
  • A é a área da seção transversal da tubulação (em m^2),
  • v é a velocidade da água (em m/s).
Vamos calcular a área da tubulação primeiro.

Passo 3

A área da seção transversal da tubulação circular pode ser calculada usando a fórmula da área do círculo:
A = pi times (d2)^2
Onde:
  • d é o diâmetro interno da tubulação.
Como o diâmetro é 3,6 cm, precisamos converter para metros:
d = 3,6 cm = 0,036 m
Agora, calculando a área:
A = pi times (0,0362)^2 = pi times (0,018)^2 approx 0,001018 m^2

Passo 4

Com a área da tubulação, podemos encontrar a velocidade da água usando a fórmula da vazão:
Q = A times v implies v = QA
Dado que a vazão Q é 10 l/s, precisamos converter para m^3/s:
Q = 10 l/s = 0,01 m^3/s
Agora, calculando a velocidade:
v = 0,010,001018 approx 9,82 m/s

Passo 5

Agora, vamos calcular a carga manométrica total que a bomba precisa vencer. A carga manométrica ( H) inclui a perda de carga na tubulação ( hf), a altura do tanque ( hz) e a elevação ( he). A fórmula é:
H = hf + hz + he
Onde:
  • hf = 2 m,
  • hz = 10 m,
  • he = 14 m.
Calculando:
H = 2 + 10 + 14 = 26 m

Passo 6

Com a carga manométrica total e a vazão, podemos calcular a potência hidráulica necessária usando a fórmula:
Phidráulica = rho times g times Q times H á
Onde:
  • rho é a densidade da água ( approx 1000 kg/m^3),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 m/s^2),
  • Q é a vazão ( 0,01 m^3/s),
  • H é a carga manométrica total ( 26 m).
Calculando:
Phidráulica = 1000 times 9,81 times 0,01 times 26 approx 2548,6 W á

Passo 7

Agora, precisamos levar em conta a eficiência da bomba para encontrar a potência motriz necessária. A eficiência ( eta) relaciona a potência hidráulica com a potência fornecida à bomba:
eta = PhidráulicaPmotriz á
Rearranjando para encontrar Pmotriz:
Pmotriz = Phidráulicaeta á
Dado que a eficiência é 75% (ou 0,75):
Pmotriz = 2548,60,75 approx 3398,1 W

Resposta

A potência motriz da bomba necessária é aproximadamente 3398 W, ou seja, cerca de 3,4 kW.

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